Theorem elqtop3 21506

Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elqtop3	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( A e. ( J qTop F ) <-> ( A C_ Y /\ ( `' F " A ) e. J ) ) )

Proof of Theorem elqtop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 20719	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
2		eqimss 3657	. . . 4 |- ( X = U. J -> X C_ U. J )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X C_ U. J )
4	3	adantr 481	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> X C_ U. J )
5		eqid 2622	. . 3 |- U. J = U. J
6	5	elqtop 21500	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y /\ X C_ U. J ) -> ( A e. ( J qTop F ) <-> ( A C_ Y /\ ( `' F " A ) e. J ) ) )
7	4, 6	mpd3an3 1425	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( A e. ( J qTop F ) <-> ( A C_ Y /\ ( `' F " A ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   "cima 5117   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-topon 20716

This theorem is referenced by:  qtopid  21508  idqtop  21509  tgqtop  21515  qtopcld  21516  qtopcn  21517  qtopss  21518  qtoprest  21520  qtopomap  21521  kqopn  21537  qtopf1  21619  qustgpopn  21923