Theorem qtopeu 21519

Description: Universal property of the quotient topology. If G is a function from J to K which is equal on all equivalent elements under F, then there is a unique continuous map f : ( J / F ) --> K such that G = f o. F, and we say that G "passes to the quotient". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtopeu.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
qtopeu.3	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
qtopeu.4	|- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
qtopeu.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )

Assertion

Ref	Expression
qtopeu	|- ( ph -> E! f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) G = ( f o. F ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, F   f, J, x   f, K, x   x, X, y   f, G, x, y   ph, f, x, y   f, Y, x

Allowed substitution hints:   J( y)   K( y)   X( f)   Y( y)

Proof of Theorem qtopeu

Dummy variables g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopeu.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
2		fofn 6117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X -onto-> Y -> F Fn X )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F Fn X )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F Fn X )
5		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> ( y e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) <-> ( y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) <-> ( y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) )
7		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
8	7	3anbi3i 1255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
9		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) <-> ( x e. X /\ ( y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) )
10	8, 9	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> ( x e. X /\ ( y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) )
11		qtopeu.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
12	10, 11	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
13	12	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) ) -> ( G ` y ) = ( G ` x ) )
14	13	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. X /\ ( F ` y ) = ( F ` x ) ) -> ( G ` y ) = ( G ` x ) ) )
15	6, 14	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) -> ( G ` y ) = ( G ` x ) ) )
16	15	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) ( G ` y ) = ( G ` x ) )
17		qtopeu.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
18		qtopeu.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
19		cntop2 21045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. Top )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. K = U. K
22	21	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
23	20, 22	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
24		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ G e. ( J Cn K ) ) -> G : X --> U. K )
25	17, 23, 18, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G : X --> U. K )
26		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G : X --> U. K -> G Fn X )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G Fn X )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> G Fn X )
29		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F " { ( F ` x ) } ) C_ dom F
30		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : X --> Y )
32		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom F = X )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> dom F = X )
35	29, 34	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( `' F " { ( F ` x ) } ) C_ X )
36		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( G ` y ) -> ( w = ( G ` x ) <-> ( G ` y ) = ( G ` x ) ) )
37	36	ralima 6498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn X /\ ( `' F " { ( F ` x ) } ) C_ X ) -> ( A. w e. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) w = ( G ` x ) <-> A. y e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) ( G ` y ) = ( G ` x ) ) )
38	28, 35, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A. w e. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) w = ( G ` x ) <-> A. y e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) ( G ` y ) = ( G ` x ) ) )
39	16, 38	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. w e. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) w = ( G ` x ) )
40		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : X --> U. K -> dom G = X )
41	25, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom G = X )
42	41	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. dom G <-> x e. X ) )
43	42	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. dom G )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
45		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
46		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F Fn X -> ( x e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) <-> ( x e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` x ) ) ) )
47	4, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) <-> ( x e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` x ) ) ) )
48	44, 45, 47	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) )
49		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. dom G /\ x e. ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) -> ( dom G i^i ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) =/= (/) )
50	43, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( dom G i^i ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) =/= (/) )
51		imadisj 5484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) = (/) <-> ( dom G i^i ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) = (/) )
52	51	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) =/= (/) <-> ( dom G i^i ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) =/= (/) )
53	50, 52	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) =/= (/) )
54		eqsn 4361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) =/= (/) -> ( ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) = { ( G ` x ) } <-> A. w e. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) w = ( G ` x ) ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) = { ( G ` x ) } <-> A. w e. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) w = ( G ` x ) ) )
56	39, 55	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) = { ( G ` x ) } )
57	56	unieqd 4446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) = U. { ( G ` x ) } )
58		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( G ` x ) e. _V
59	58	unisn 4451	. . . . . . . 8 |- U. { ( G ` x ) } = ( G ` x )
60	57, 59	syl6req 2673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G ` x ) = U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) )
61	60	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( G ` x ) ) = ( x e. X |-> U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) ) )
62	25	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ph -> G = ( x e. X |-> ( G ` x ) ) )
63	31	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. Y )
64	31	feqmptd 6249	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> ( F ` x ) ) )
65		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) = ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) )
66		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( F ` x ) -> { w } = { ( F ` x ) } )
67	66	imaeq2d 5466	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( F ` x ) -> ( `' F " { w } ) = ( `' F " { ( F ` x ) } ) )
68	67	imaeq2d 5466	. . . . . . . 8 |- ( w = ( F ` x ) -> ( G " ( `' F " { w } ) ) = ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) )
69	68	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( w = ( F ` x ) -> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) = U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) )
70	63, 64, 65, 69	fmptco 6396	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) o. F ) = ( x e. X |-> U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) ) )
71	61, 62, 70	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) o. F ) )
72	71, 18	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) o. F ) e. ( J Cn K ) )
73	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G ` x ) e. U. K )
74	60, 73	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) e. U. K )
75	74	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) e. U. K )
76	69	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` x ) -> U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) = U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
77	76	eqcoms 2630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) = w -> U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) = U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
78	77	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) = w -> ( U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) e. U. K <-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) e. U. K ) )
79	78	cbvfo 6544	. . . . . . . 8 |- ( F : X -onto-> Y -> ( A. x e. X U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) e. U. K <-> A. w e. Y U. ( G " ( `' F " { w } ) ) e. U. K ) )
80	1, 79	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. x e. X U. ( G " ( `' F " { ( F ` x ) } ) ) e. U. K <-> A. w e. Y U. ( G " ( `' F " { w } ) ) e. U. K ) )
81	75, 80	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> A. w e. Y U. ( G " ( `' F " { w } ) ) e. U. K )
82		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) = ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
83	82	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. w e. Y U. ( G " ( `' F " { w } ) ) e. U. K <-> ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K )
84	81, 83	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K )
85		qtopcn 21517	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K ) ) -> ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) e. ( ( J qTop F ) Cn K ) <-> ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) o. F ) e. ( J Cn K ) ) )
86	17, 23, 1, 84, 85	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ph -> ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) e. ( ( J qTop F ) Cn K ) <-> ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) o. F ) e. ( J Cn K ) ) )
87	72, 86	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) e. ( ( J qTop F ) Cn K ) )
88		coeq1 5279	. . . . 5 |- ( f = ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) -> ( f o. F ) = ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) o. F ) )
89	88	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( f = ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) -> ( G = ( f o. F ) <-> G = ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) o. F ) ) )
90	89	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ G = ( ( w e. Y |-> U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) o. F ) ) -> E. f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) G = ( f o. F ) )
91	87, 71, 90	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E. f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) G = ( f o. F ) )
92		eqtr2 2642	. . . 4 |- ( ( G = ( f o. F ) /\ G = ( g o. F ) ) -> ( f o. F ) = ( g o. F ) )
93	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> F : X -onto-> Y )
94		qtoptopon 21507	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
95	17, 1, 94	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
96	95	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
97	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
98		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) )
99		cnf2 21053	. . . . . . 7 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) -> f : Y --> U. K )
100	96, 97, 98, 99	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> f : Y --> U. K )
101		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( f : Y --> U. K -> f Fn Y )
102	100, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> f Fn Y )
103		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) )
104		cnf2 21053	. . . . . . 7 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) -> g : Y --> U. K )
105	96, 97, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> g : Y --> U. K )
106		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( g : Y --> U. K -> g Fn Y )
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> g Fn Y )
108		cocan2 6547	. . . . 5 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ f Fn Y /\ g Fn Y ) -> ( ( f o. F ) = ( g o. F ) <-> f = g ) )
109	93, 102, 107, 108	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> ( ( f o. F ) = ( g o. F ) <-> f = g ) )
110	92, 109	syl5ib 234	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ) ) -> ( ( G = ( f o. F ) /\ G = ( g o. F ) ) -> f = g ) )
111	110	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) A. g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ( ( G = ( f o. F ) /\ G = ( g o. F ) ) -> f = g ) )
112		coeq1 5279	. . . 4 |- ( f = g -> ( f o. F ) = ( g o. F ) )
113	112	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( f = g -> ( G = ( f o. F ) <-> G = ( g o. F ) ) )
114	113	reu4 3400	. 2 |- ( E! f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) G = ( f o. F ) <-> ( E. f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) G = ( f o. F ) /\ A. f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) A. g e. ( ( J qTop F ) Cn K ) ( ( G = ( f o. F ) /\ G = ( g o. F ) ) -> f = g ) ) )
115	91, 111, 114	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> E! f e. ( ( J qTop F ) Cn K ) G = ( f o. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  qtophmeo  21620