Theorem qtophmeo 21620

Description: If two functions on a base topology J make the same identifications in order to create quotient spaces J qTop F and J qTop G, then not only are J qTop F and J qTop G homeomorphic, but there is a unique homeomorphism that makes the diagram commute. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtophmeo.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
qtophmeo.3	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
qtophmeo.4	|- ( ph -> G : X -onto-> Y )
qtophmeo.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( G ` x ) = ( G ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
qtophmeo	|- ( ph -> E! f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, F   f, G, x, y   f, J, x, y   ph, f, x, y   x, X, y   f, Y, x

Allowed substitution hints:   X( f)   Y( y)

Proof of Theorem qtophmeo

Dummy variables g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtophmeo.2	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		qtophmeo.3	. . . . 5 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
3		qtophmeo.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : X -onto-> Y )
4		fofn 6117	. . . . . . 7 |- ( G : X -onto-> Y -> G Fn X )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G Fn X )
6		qtopid 21508	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ G Fn X ) -> G e. ( J Cn ( J qTop G ) ) )
7	1, 5, 6	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( J Cn ( J qTop G ) ) )
8		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
9		qtophmeo.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( G ` x ) = ( G ` y ) ) )
10	9	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> ( G ` x ) = ( G ` y ) ) )
11	10	impr 649	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
12	8, 11	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
13	1, 2, 7, 12	qtopeu 21519	. . . 4 |- ( ph -> E! f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) )
14		reurex 3160	. . . 4 |- ( E! f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) -> E. f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) )
15	13, 14	syl 17	. . 3 |- ( ph -> E. f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) )
16		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) -> f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) )
17		fofn 6117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X -onto-> Y -> F Fn X )
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
19		qtopid 21508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F Fn X ) -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
20	1, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
21		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ ( G ` x ) = ( G ` y ) ) <-> ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( G ` x ) = ( G ` y ) ) )
22	9	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( G ` x ) = ( G ` y ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
23	22	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( G ` x ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
24	21, 23	sylan2b 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ ( G ` x ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
25	1, 3, 20, 24	qtopeu 21519	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E! g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) F = ( g o. G ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) -> E! g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) F = ( g o. G ) )
27		reurex 3160	. . . . . . . . 9 |- ( E! g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) F = ( g o. G ) -> E. g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) F = ( g o. G ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) -> E. g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) F = ( g o. G ) )
29		qtoptopon 21507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
30	1, 2, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
31	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
32		qtoptopon 21507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ G : X -onto-> Y ) -> ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) )
33	1, 3, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) )
34	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) )
35		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) )
36		cnf2 21053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) /\ f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) ) -> f : Y --> Y )
37	31, 34, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> f : Y --> Y )
38		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) )
39		cnf2 21053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) /\ ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) ) -> g : Y --> Y )
40	34, 31, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> g : Y --> Y )
41		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( g o. f ) -> ( h o. F ) = ( ( g o. f ) o. F ) )
42	41	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( g o. f ) -> ( F = ( h o. F ) <-> F = ( ( g o. f ) o. F ) ) )
43		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( _I |` Y ) -> ( h o. F ) = ( ( _I |` Y ) o. F ) )
44	43	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( _I |` Y ) -> ( F = ( h o. F ) <-> F = ( ( _I |` Y ) o. F ) ) )
45		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
46	1, 2, 20, 45	qtopeu 21519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E! h e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop F ) ) F = ( h o. F ) )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> E! h e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop F ) ) F = ( h o. F ) )
48		cnco 21070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) ) -> ( g o. f ) e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop F ) ) )
49	35, 38, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( g o. f ) e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop F ) ) )
50		idcn 21061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> ( _I |` Y ) e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop F ) ) )
51	30, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _I |` Y ) e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop F ) ) )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( _I |` Y ) e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop F ) ) )
53		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> F = ( g o. G ) )
54		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> G = ( f o. F ) )
55	54	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( g o. G ) = ( g o. ( f o. F ) ) )
56	53, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> F = ( g o. ( f o. F ) ) )
57		coass 5654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g o. f ) o. F ) = ( g o. ( f o. F ) )
58	56, 57	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> F = ( ( g o. f ) o. F ) )
59		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
60	2, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : X --> Y )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> F : X --> Y )
62		fcoi2 6079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X --> Y -> ( ( _I |` Y ) o. F ) = F )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( ( _I |` Y ) o. F ) = F )
64	63	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> F = ( ( _I |` Y ) o. F ) )
65	42, 44, 47, 49, 52, 58, 64	reu2eqd 3403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( g o. f ) = ( _I |` Y ) )
66		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h o. G ) = ( ( f o. g ) o. G ) )
67	66	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( f o. g ) -> ( G = ( h o. G ) <-> G = ( ( f o. g ) o. G ) ) )
68		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( _I |` Y ) -> ( h o. G ) = ( ( _I |` Y ) o. G ) )
69	68	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( _I |` Y ) -> ( G = ( h o. G ) <-> G = ( ( _I |` Y ) o. G ) ) )
70		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ ( G ` x ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
71	1, 3, 7, 70	qtopeu 21519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E! h e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop G ) ) G = ( h o. G ) )
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> E! h e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop G ) ) G = ( h o. G ) )
73		cnco 21070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) ) -> ( f o. g ) e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop G ) ) )
74	38, 35, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( f o. g ) e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop G ) ) )
75		idcn 21061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) -> ( _I |` Y ) e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop G ) ) )
76	33, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _I |` Y ) e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop G ) ) )
77	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( _I |` Y ) e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop G ) ) )
78	53	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( f o. F ) = ( f o. ( g o. G ) ) )
79	54, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> G = ( f o. ( g o. G ) ) )
80		coass 5654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f o. g ) o. G ) = ( f o. ( g o. G ) )
81	79, 80	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> G = ( ( f o. g ) o. G ) )
82		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G : X -onto-> Y -> G : X --> Y )
83	3, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G : X --> Y )
84	83	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> G : X --> Y )
85		fcoi2 6079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : X --> Y -> ( ( _I |` Y ) o. G ) = G )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( ( _I |` Y ) o. G ) = G )
87	86	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> G = ( ( _I |` Y ) o. G ) )
88	67, 69, 72, 74, 77, 81, 87	reu2eqd 3403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> ( f o. g ) = ( _I |` Y ) )
89	37, 40, 65, 88	2fcoidinvd 6550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> `' f = g )
90	89, 38	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) /\ ( g e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) /\ F = ( g o. G ) ) ) -> `' f e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) )
91	28, 90	rexlimddv 3035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) -> `' f e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) )
92		ishmeo 21562	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) <-> ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ `' f e. ( ( J qTop G ) Cn ( J qTop F ) ) ) )
93	16, 91, 92	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) -> f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) )
94		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) -> G = ( f o. F ) )
95	93, 94	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) -> ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) )
96	95	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) -> ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ G = ( f o. F ) ) ) )
97	96	reximdv2 3014	. . 3 |- ( ph -> ( E. f e. ( ( J qTop F ) Cn ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) -> E. f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) ) )
98	15, 97	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) )
99		eqtr2 2642	. . . 4 |- ( ( G = ( f o. F ) /\ G = ( g o. F ) ) -> ( f o. F ) = ( g o. F ) )
100	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> F : X -onto-> Y )
101	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
102	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) )
103		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) )
104		hmeof1o2 21566	. . . . . . 7 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) /\ f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) -> f : Y -1-1-onto-> Y )
105	101, 102, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> f : Y -1-1-onto-> Y )
106		f1ofn 6138	. . . . . 6 |- ( f : Y -1-1-onto-> Y -> f Fn Y )
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> f Fn Y )
108		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) )
109		hmeof1o2 21566	. . . . . . 7 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ ( J qTop G ) e. (TopOn ` Y ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) -> g : Y -1-1-onto-> Y )
110	101, 102, 108, 109	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> g : Y -1-1-onto-> Y )
111		f1ofn 6138	. . . . . 6 |- ( g : Y -1-1-onto-> Y -> g Fn Y )
112	110, 111	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> g Fn Y )
113		cocan2 6547	. . . . 5 |- ( ( F : X -onto-> Y /\ f Fn Y /\ g Fn Y ) -> ( ( f o. F ) = ( g o. F ) <-> f = g ) )
114	100, 107, 112, 113	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> ( ( f o. F ) = ( g o. F ) <-> f = g ) )
115	99, 114	syl5ib 234	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) /\ g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ) ) -> ( ( G = ( f o. F ) /\ G = ( g o. F ) ) -> f = g ) )
116	115	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) A. g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ( ( G = ( f o. F ) /\ G = ( g o. F ) ) -> f = g ) )
117		coeq1 5279	. . . 4 |- ( f = g -> ( f o. F ) = ( g o. F ) )
118	117	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( f = g -> ( G = ( f o. F ) <-> G = ( g o. F ) ) )
119	118	reu4 3400	. 2 |- ( E! f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) <-> ( E. f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) /\ A. f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) A. g e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) ( ( G = ( f o. F ) /\ G = ( g o. F ) ) -> f = g ) ) )
120	98, 116, 119	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> E! f e. ( ( J qTop F ) Homeo ( J qTop G ) ) G = ( f o. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-hmeo 21558

This theorem is referenced by: (None)