Theorem qtopuni 21505

Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
qtopuni	|- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )

Proof of Theorem qtopuni

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . . . 5 |- Y C_ Y
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> Y C_ Y )
3		fof 6115	. . . . . . 7 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
4	3	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> F : X --> Y )
5		fimacnv 6347	. . . . . 6 |- ( F : X --> Y -> ( `' F " Y ) = X )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> ( `' F " Y ) = X )
7		qtoptop.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
8	7	topopn 20711	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> X e. J )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> X e. J )
10	6, 9	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> ( `' F " Y ) e. J )
11	7	elqtop2 21504	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> ( Y e. ( J qTop F ) <-> ( Y C_ Y /\ ( `' F " Y ) e. J ) ) )
12	2, 10, 11	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> Y e. ( J qTop F ) )
13		elssuni 4467	. . 3 |- ( Y e. ( J qTop F ) -> Y C_ U. ( J qTop F ) )
14	12, 13	syl 17	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> Y C_ U. ( J qTop F ) )
15	7	elqtop2 21504	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
16		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) -> x C_ Y )
17		selpw 4165	. . . . . 6 |- ( x e. ~P Y <-> x C_ Y )
18	16, 17	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) -> x e. ~P Y )
19	15, 18	syl6bi 243	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) -> x e. ~P Y ) )
20	19	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) C_ ~P Y )
21		sspwuni 4611	. . 3 |- ( ( J qTop F ) C_ ~P Y <-> U. ( J qTop F ) C_ Y )
22	20, 21	sylib 208	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> U. ( J qTop F ) C_ Y )
23	14, 22	eqssd 3620	1 |- ( ( J e. Top /\ F : X -onto-> Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   -onto->wfo 5886  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-top 20699

This theorem is referenced by:  qtoptopon  21507  qtopcmplem  21510  qtopkgen  21513  qtopt1  29902  qtophaus  29903  circtopn  29904