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Theorem ramval 15712
Description: The value of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c |- C = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
ramval.t |- T = { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramval |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( M Ramsey F ) = inf ( T , RR* , < ) )
Distinct variable groups:   f, c, x, C   n, c, s, F, f, x   a, b, c, f, i, n, s, x, M   R, c, f, n, s, x   V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:   C( i, n, s, a, b)   R( i, a, b)   T( x, f, i, n, s, a, b, c)   F( i, a, b)   V( i, a, b)
Proof of Theorem ramval
Dummy variables y m r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ram 15705 . . 3 |- Ramsey = ( m e. NN0 , r e. _V |-> inf ( { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) ) } , RR* , < ) )
21a1i 11 . 2 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> Ramsey = ( m e. NN0 , r e. _V |-> inf ( { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) ) } , RR* , < ) ) )
3 simplrr 801 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> r = F )
43dmeqd 5326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> dom r = dom F )
5 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> F : R --> NN0 )
6 fdm 6051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : R --> NN0 -> dom F = R )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> dom F = R )
84, 7eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> dom r = R )
9 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> m = M )
109eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( # ` y ) = m <-> ( # ` y ) = M ) )
1110rabbidv 3189 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } = { y e. ~P s | ( # ` y ) = M } )
12 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- s e. _V
13 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> M e. NN0 )
14 ramval.c . . . . . . . . . . . . 13 |- C = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
1514hashbcval 15706 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. _V /\ M e. NN0 ) -> ( s C M ) = { y e. ~P s | ( # ` y ) = M } )
1612, 13, 15sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( s C M ) = { y e. ~P s | ( # ` y ) = M } )
1711, 16eqtr4d 2659 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } = ( s C M ) )
188, 17oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) = ( R ^m ( s C M ) ) )
1918raleqdv 3144 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) <-> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) ) )
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = M /\ r = F ) -> r = F )
2120dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = M /\ r = F ) -> dom r = dom F )
2263ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> dom F = R )
2321, 22sylan9eqr 2678 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) -> dom r = R )
2423ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) -> dom r = R )
253ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> r = F )
2625fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( r ` c ) = ( F ` c ) )
2726breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) <-> ( F ` c ) <_ ( # ` x ) ) )
289ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> m = M )
2928oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( x C m ) = ( x C M ) )
30 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
3113ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> M e. NN0 )
3228, 31eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> m e. NN0 )
3314hashbcval 15706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. _V /\ m e. NN0 ) -> ( x C m ) = { y e. ~P x | ( # ` y ) = m } )
3430, 32, 33sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( x C m ) = { y e. ~P x | ( # ` y ) = m } )
3529, 34eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( x C M ) = { y e. ~P x | ( # ` y ) = m } )
3635sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) <-> { y e. ~P x | ( # ` y ) = m } C_ ( `' f " { c } ) ) )
37 rabss 3679 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. ~P x | ( # ` y ) = m } C_ ( `' f " { c } ) <-> A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> y e. ( `' f " { c } ) ) )
38 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. ( R ^m ( s C M ) ) -> f : ( s C M ) --> R )
3938ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ ( y e. ~P x /\ ( # ` y ) = m ) ) -> f : ( s C M ) --> R )
40 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f : ( s C M ) --> R -> f Fn ( s C M ) )
41 fniniseg 6338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f Fn ( s C M ) -> ( y e. ( `' f " { c } ) <-> ( y e. ( s C M ) /\ ( f ` y ) = c ) ) )
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ ( y e. ~P x /\ ( # ` y ) = m ) ) -> ( y e. ( `' f " { c } ) <-> ( y e. ( s C M ) /\ ( f ` y ) = c ) ) )
4335eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( y e. ( x C M ) <-> y e. { y e. ~P x | ( # ` y ) = m } ) )
44 rabid 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. { y e. ~P x | ( # ` y ) = m } <-> ( y e. ~P x /\ ( # ` y ) = m ) )
4543, 44syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( y e. ( x C M ) <-> ( y e. ~P x /\ ( # ` y ) = m ) ) )
4645biimpar 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ ( y e. ~P x /\ ( # ` y ) = m ) ) -> y e. ( x C M ) )
4712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> s e. _V )
48 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ~P s -> x C_ s )
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> x C_ s )
5014hashbcss 15708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( s e. _V /\ x C_ s /\ M e. NN0 ) -> ( x C M ) C_ ( s C M ) )
5147, 49, 31, 50syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( x C M ) C_ ( s C M ) )
5251sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ y e. ( x C M ) ) -> y e. ( s C M ) )
5346, 52syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ ( y e. ~P x /\ ( # ` y ) = m ) ) -> y e. ( s C M ) )
5453biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ ( y e. ~P x /\ ( # ` y ) = m ) ) -> ( ( f ` y ) = c <-> ( y e. ( s C M ) /\ ( f ` y ) = c ) ) )
5542, 54bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ ( y e. ~P x /\ ( # ` y ) = m ) ) -> ( y e. ( `' f " { c } ) <-> ( f ` y ) = c ) )
5655anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ y e. ~P x ) /\ ( # ` y ) = m ) -> ( y e. ( `' f " { c } ) <-> ( f ` y ) = c ) )
5756pm5.74da 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) /\ y e. ~P x ) -> ( ( ( # ` y ) = m -> y e. ( `' f " { c } ) ) <-> ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) )
5857ralbidva 2985 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> y e. ( `' f " { c } ) ) <-> A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) )
5937, 58syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( { y e. ~P x | ( # ` y ) = m } C_ ( `' f " { c } ) <-> A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) )
6036, 59bitr2d 269 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) <-> ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) )
6127, 60anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) /\ x e. ~P s ) -> ( ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) <-> ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
6261rexbidva 3049 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) -> ( E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) <-> E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
6324, 62rexeqbidv 3153 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( R ^m ( s C M ) ) ) -> ( E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) <-> E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
6463ralbidva 2985 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) <-> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
6519, 64bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) <-> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
6665imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) ) <-> ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) ) )
6766albidv 1849 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) ) <-> A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) ) )
6867rabbidva 3188 . . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) -> { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) ) } = { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } )
69 ramval.t . . . 4 |- T = { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) }
7068, 69syl6eqr 2674 . . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) -> { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) ) } = T )
7170infeq1d 8383 . 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ ( m = M /\ r = F ) ) -> inf ( { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( dom r ^m { y e. ~P s | ( # ` y ) = m } ) E. c e. dom r E. x e. ~P s ( ( r ` c ) <_ ( # ` x ) /\ A. y e. ~P x ( ( # ` y ) = m -> ( f ` y ) = c ) ) ) } , RR* , < ) = inf ( T , RR* , < ) )
72 simp1 1061 . 2 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> M e. NN0 )
73 simp3 1063 . . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> F : R --> NN0 )
74 simp2 1062 . . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> R e. V )
75 fex 6490 . . 3 |- ( ( F : R --> NN0 /\ R e. V ) -> F e. _V )
7673, 74, 75syl2anc 693 . 2 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> F e. _V )
77 xrltso 11974 . . . 4 |- < Or RR*
7877infex 8399 . . 3 |- inf ( T , RR* , < ) e. _V
7978a1i 11 . 2 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> inf ( T , RR* , < ) e. _V )
802, 71, 72, 76, 79ovmpt2d 6788 1 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( M Ramsey F ) = inf ( T , RR* , < ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857  infcinf 8347   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   #chash 13117   Ramsey cram 15703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-ram 15705
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  15713
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