Theorem refun0 21318

Description: Adding the empty set preserves refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
refun0	|- ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) -> ( A u. { (/) } ) Ref B )

Proof of Theorem refun0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- U. A = U. A
2		eqid 2622	. . . 4 |- U. B = U. B
3	1, 2	refbas 21313	. . 3 |- ( A Ref B -> U. B = U. A )
4	3	adantr 481	. 2 |- ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) -> U. B = U. A )
5		elun 3753	. . . 4 |- ( x e. ( A u. { (/) } ) <-> ( x e. A \/ x e. { (/) } ) )
6		refssex 21314	. . . . . 6 |- ( ( A Ref B /\ x e. A ) -> E. y e. B x C_ y )
7	6	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) /\ x e. A ) -> E. y e. B x C_ y )
8		0ss 3972	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ y
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A Ref B /\ y e. B ) -> (/) C_ y )
10	9	reximdva0 3933	. . . . . . 7 |- ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) -> E. y e. B (/) C_ y )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) /\ x e. { (/) } ) -> E. y e. B (/) C_ y )
12		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
13		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x C_ y <-> (/) C_ y ) )
14	13	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( E. y e. B x C_ y <-> E. y e. B (/) C_ y ) )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. { (/) } -> ( E. y e. B x C_ y <-> E. y e. B (/) C_ y ) )
16	15	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) /\ x e. { (/) } ) -> ( E. y e. B x C_ y <-> E. y e. B (/) C_ y ) )
17	11, 16	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) /\ x e. { (/) } ) -> E. y e. B x C_ y )
18	7, 17	jaodan 826	. . . 4 |- ( ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) /\ ( x e. A \/ x e. { (/) } ) ) -> E. y e. B x C_ y )
19	5, 18	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) /\ x e. ( A u. { (/) } ) ) -> E. y e. B x C_ y )
20	19	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) -> A. x e. ( A u. { (/) } ) E. y e. B x C_ y )
21		refrel 21311	. . . . . 6 |- Rel Ref
22	21	brrelexi 5158	. . . . 5 |- ( A Ref B -> A e. _V )
23		p0ex 4853	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
24		unexg 6959	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A u. { (/) } ) e. _V )
25	22, 23, 24	sylancl 694	. . . 4 |- ( A Ref B -> ( A u. { (/) } ) e. _V )
26		uniun 4456	. . . . . 6 |- U. ( A u. { (/) } ) = ( U. A u. U. { (/) } )
27		0ex 4790	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
28	27	unisn 4451	. . . . . . 7 |- U. { (/) } = (/)
29	28	uneq2i 3764	. . . . . 6 |- ( U. A u. U. { (/) } ) = ( U. A u. (/) )
30		un0 3967	. . . . . 6 |- ( U. A u. (/) ) = U. A
31	26, 29, 30	3eqtrri 2649	. . . . 5 |- U. A = U. ( A u. { (/) } )
32	31, 2	isref 21312	. . . 4 |- ( ( A u. { (/) } ) e. _V -> ( ( A u. { (/) } ) Ref B <-> ( U. B = U. A /\ A. x e. ( A u. { (/) } ) E. y e. B x C_ y ) ) )
33	25, 32	syl 17	. . 3 |- ( A Ref B -> ( ( A u. { (/) } ) Ref B <-> ( U. B = U. A /\ A. x e. ( A u. { (/) } ) E. y e. B x C_ y ) ) )
34	33	adantr 481	. 2 |- ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) -> ( ( A u. { (/) } ) Ref B <-> ( U. B = U. A /\ A. x e. ( A u. { (/) } ) E. y e. B x C_ y ) ) )
35	4, 20, 34	mpbir2and 957	1 |- ( ( A Ref B /\ B =/= (/) ) -> ( A u. { (/) } ) Ref B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Refcref 21305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-ref 21308

This theorem is referenced by:  locfinref  29908