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Theorem regsep2 21180
Description: In a regular space, a closed set is separated by open sets from a point not in it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
regsep2 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> E. x e. J E. y e. J ( C C_ x /\ A e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, C, y   x, J, y   x, X, y
Proof of Theorem regsep2
StepHypRef Expression
1 regtop 21137 . . . . . . 7 |- ( J e. Reg -> J e. Top )
21ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> J e. Top )
3 elssuni 4467 . . . . . . . 8 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
4 t1sep.1 . . . . . . . 8 |- X = U. J
53, 4syl6sseqr 3652 . . . . . . 7 |- ( y e. J -> y C_ X )
65ad2antrl 764 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> y C_ X )
74clscld 20851 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ y C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` y ) e. ( Clsd ` J ) )
82, 6, 7syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` y ) e. ( Clsd ` J ) )
94cldopn 20835 . . . . 5 |- ( ( ( cls ` J ) ` y ) e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) e. J )
108, 9syl 17 . . . 4 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) e. J )
11 simprrr 805 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) )
124clsss3 20863 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ y C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` y ) C_ X )
132, 6, 12syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` y ) C_ X )
14 simplr1 1103 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> C e. ( Clsd ` J ) )
154cldss 20833 . . . . . . 7 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> C C_ X )
1614, 15syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> C C_ X )
17 ssconb 3743 . . . . . 6 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` y ) C_ X /\ C C_ X ) -> ( ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) <-> C C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) <-> C C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) ) )
1911, 18mpbid 222 . . . 4 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> C C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) )
20 simprrl 804 . . . 4 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> A e. y )
214sscls 20860 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ y C_ X ) -> y C_ ( ( cls ` J ) ` y ) )
222, 6, 21syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> y C_ ( ( cls ` J ) ` y ) )
23 sslin 3839 . . . . . 6 |- ( y C_ ( ( cls ` J ) ` y ) -> ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) C_ ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i ( ( cls ` J ) ` y ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) C_ ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i ( ( cls ` J ) ` y ) ) )
25 incom 3805 . . . . . 6 |- ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i ( ( cls ` J ) ` y ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` y ) i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) )
26 disjdif 4040 . . . . . 6 |- ( ( ( cls ` J ) ` y ) i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) ) = (/)
2725, 26eqtri 2644 . . . . 5 |- ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i ( ( cls ` J ) ` y ) ) = (/)
28 sseq0 3975 . . . . 5 |- ( ( ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) C_ ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i ( ( cls ` J ) ` y ) ) /\ ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i ( ( cls ` J ) ` y ) ) = (/) ) -> ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) = (/) )
2924, 27, 28sylancl 694 . . . 4 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) = (/) )
30 sseq2 3627 . . . . . 6 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) -> ( C C_ x <-> C C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) ) )
31 ineq1 3807 . . . . . . 7 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) )
3231eqeq1d 2624 . . . . . 6 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) -> ( ( x i^i y ) = (/) <-> ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) = (/) ) )
3330, 323anbi13d 1401 . . . . 5 |- ( x = ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) -> ( ( C C_ x /\ A e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( C C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) /\ A e. y /\ ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) = (/) ) ) )
3433rspcev 3309 . . . 4 |- ( ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) e. J /\ ( C C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) /\ A e. y /\ ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` y ) ) i^i y ) = (/) ) ) -> E. x e. J ( C C_ x /\ A e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
3510, 19, 20, 29, 34syl13anc 1328 . . 3 |- ( ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) /\ ( y e. J /\ ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) ) ) -> E. x e. J ( C C_ x /\ A e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
36 simpl 473 . . . 4 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> J e. Reg )
37 simpr1 1067 . . . . 5 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> C e. ( Clsd ` J ) )
384cldopn 20835 . . . . 5 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ C ) e. J )
3937, 38syl 17 . . . 4 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> ( X \ C ) e. J )
40 simpr2 1068 . . . . 5 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> A e. X )
41 simpr3 1069 . . . . 5 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> -. A e. C )
4240, 41eldifd 3585 . . . 4 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> A e. ( X \ C ) )
43 regsep 21138 . . . 4 |- ( ( J e. Reg /\ ( X \ C ) e. J /\ A e. ( X \ C ) ) -> E. y e. J ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) )
4436, 39, 42, 43syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> E. y e. J ( A e. y /\ ( ( cls ` J ) ` y ) C_ ( X \ C ) ) )
4535, 44reximddv 3018 . 2 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> E. y e. J E. x e. J ( C C_ x /\ A e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
46 rexcom 3099 . 2 |- ( E. y e. J E. x e. J ( C C_ x /\ A e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> E. x e. J E. y e. J ( C C_ x /\ A e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
4745, 46sylib 208 1 |- ( ( J e. Reg /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ A e. X /\ -. A e. C ) ) -> E. x e. J E. y e. J ( C C_ x /\ A e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Regcreg 21113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-cls 20825  df-reg 21120
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