Theorem fgabs 21683

Description: Absorption law for filter generation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgabs	|- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) -> ( X filGen ( Y filGen F ) ) = ( X filGen F ) )

Proof of Theorem fgabs

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> F e. ( fBas ` Y ) )
2		fgcl 21682	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen F ) e. ( Fil ` Y ) )
3		filfbas 21652	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y filGen F ) e. ( Fil ` Y ) -> ( Y filGen F ) e. ( fBas ` Y ) )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( Y filGen F ) e. ( fBas ` Y ) )
5		fbsspw 21636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y filGen F ) e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen F ) C_ ~P Y )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( Y filGen F ) C_ ~P Y )
7		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> Y C_ X )
8		sspwb 4917	. . . . . . . . . 10 |- ( Y C_ X <-> ~P Y C_ ~P X )
9	7, 8	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ~P Y C_ ~P X )
10	6, 9	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( Y filGen F ) C_ ~P X )
11		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> X e. _V )
12		fbasweak 21669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y filGen F ) e. ( fBas ` Y ) /\ ( Y filGen F ) C_ ~P X /\ X e. _V ) -> ( Y filGen F ) e. ( fBas ` X ) )
13	4, 10, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( Y filGen F ) e. ( fBas ` X ) )
14		elfg 21675	. . . . . . 7 |- ( ( Y filGen F ) e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen ( Y filGen F ) ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. ( Y filGen F ) y C_ x ) ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( x e. ( X filGen ( Y filGen F ) ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. ( Y filGen F ) y C_ x ) ) )
16	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ x C_ X ) -> F e. ( fBas ` Y ) )
17		elfg 21675	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> ( y e. ( Y filGen F ) <-> ( y C_ Y /\ E. z e. F z C_ y ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ x C_ X ) -> ( y e. ( Y filGen F ) <-> ( y C_ Y /\ E. z e. F z C_ y ) ) )
19		fbsspw 21636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> F C_ ~P Y )
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> F C_ ~P Y )
21	20, 9	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> F C_ ~P X )
22		fbasweak 21669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ F C_ ~P X /\ X e. _V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
23	1, 21, 11, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
24		fgcl 21682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( ( z e. F /\ z C_ y ) /\ y C_ x ) ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
27		ssfg 21676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> F C_ ( X filGen F ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) -> F C_ ( X filGen F ) )
30	29	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ z e. F ) -> z e. ( X filGen F ) )
31	30	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( z e. F /\ z C_ y ) ) -> z e. ( X filGen F ) )
32	31	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( ( z e. F /\ z C_ y ) /\ y C_ x ) ) -> z e. ( X filGen F ) )
33		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( ( z e. F /\ z C_ y ) /\ y C_ x ) ) -> x C_ X )
34		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( ( z e. F /\ z C_ y ) /\ y C_ x ) ) -> z C_ y )
35		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( ( z e. F /\ z C_ y ) /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
36	34, 35	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( ( z e. F /\ z C_ y ) /\ y C_ x ) ) -> z C_ x )
37		filss 21657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ ( z e. ( X filGen F ) /\ x C_ X /\ z C_ x ) ) -> x e. ( X filGen F ) )
38	26, 32, 33, 36, 37	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( ( z e. F /\ z C_ y ) /\ y C_ x ) ) -> x e. ( X filGen F ) )
39	38	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) /\ ( z e. F /\ z C_ y ) ) -> ( y C_ x -> x e. ( X filGen F ) ) )
40	39	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ ( x C_ X /\ y C_ Y ) ) -> ( E. z e. F z C_ y -> ( y C_ x -> x e. ( X filGen F ) ) ) )
41	40	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ x C_ X ) /\ y C_ Y ) -> ( E. z e. F z C_ y -> ( y C_ x -> x e. ( X filGen F ) ) ) )
42	41	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ x C_ X ) -> ( ( y C_ Y /\ E. z e. F z C_ y ) -> ( y C_ x -> x e. ( X filGen F ) ) ) )
43	18, 42	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ x C_ X ) -> ( y e. ( Y filGen F ) -> ( y C_ x -> x e. ( X filGen F ) ) ) )
44	43	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) /\ x C_ X ) -> ( E. y e. ( Y filGen F ) y C_ x -> x e. ( X filGen F ) ) )
45	44	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( ( x C_ X /\ E. y e. ( Y filGen F ) y C_ x ) -> x e. ( X filGen F ) ) )
46	15, 45	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( x e. ( X filGen ( Y filGen F ) ) -> x e. ( X filGen F ) ) )
47	46	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( X filGen ( Y filGen F ) ) C_ ( X filGen F ) )
48		ssfg 21676	. . . . . 6 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> F C_ ( Y filGen F ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> F C_ ( Y filGen F ) )
50		fgss 21677	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ ( Y filGen F ) e. ( fBas ` X ) /\ F C_ ( Y filGen F ) ) -> ( X filGen F ) C_ ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
51	23, 13, 49, 50	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( X filGen F ) C_ ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
52	47, 51	eqssd 3620	. . 3 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) /\ X e. _V ) -> ( X filGen ( Y filGen F ) ) = ( X filGen F ) )
53	52	ex 450	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) -> ( X e. _V -> ( X filGen ( Y filGen F ) ) = ( X filGen F ) ) )
54		df-fg 19744	. . . . 5 |- filGen = ( w e. _V , x e. ( fBas ` w ) |-> { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } )
55	54	reldmmpt2 6771	. . . 4 |- Rel dom filGen
56	55	ovprc1 6684	. . 3 |- ( -. X e. _V -> ( X filGen ( Y filGen F ) ) = (/) )
57	55	ovprc1 6684	. . 3 |- ( -. X e. _V -> ( X filGen F ) = (/) )
58	56, 57	eqtr4d 2659	. 2 |- ( -. X e. _V -> ( X filGen ( Y filGen F ) ) = ( X filGen F ) )
59	53, 58	pm2.61d1 171	1 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ Y C_ X ) -> ( X filGen ( Y filGen F ) ) = ( X filGen F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  minveclem4a  23201