Theorem oppglsm 18057

Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppglsm.o	|- O = (oppg ` G )
oppglsm.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
oppglsm	|- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Proof of Theorem oppglsm

Dummy variables u t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		oppglsm.p	. . . . . . . 8 |- .(+) = ( LSSum ` G )
4	1, 2, 3	lsmfval 18053	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> .(+) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
5	4	tposeqd 7355	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
7	6	reldmmpt2 6771	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
8	6	mpt2fun 6762	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
9		funforn 6122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) <-> ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
10	8, 9	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
11		tposfo2 7375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ( ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
12	7, 10, 11	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
13		forn 6118	. . . . . . . . . . 11 |- (tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) : `' dom ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -onto-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) -> ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) )
15		oppglsm.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- O = (oppg ` G )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` O ) = ( +g ` O )
17	2, 15, 16	oppgplus 17779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( +g ` O ) y ) = ( y ( +g ` G ) x )
18	17	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. u /\ x e. t ) -> ( y ( +g ` G ) x ) = ( x ( +g ` O ) y ) )
20	19	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( y e. u , x e. t |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
21	20	tposmpt2 7389	. . . . . . . . . . 11 |- tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
22	21	rneqi 5352	. . . . . . . . . 10 |- ran tpos ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
23	14, 22	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 |- ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) )
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ~P ( Base ` G ) /\ t e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) = ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
25	24	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . 7 |- ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
26	25	tposmpt2 7389	. . . . . 6 |- tpos ( u e. ~P ( Base ` G ) , t e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( y e. u , x e. t |-> ( y ( +g ` G ) x ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
27	5, 26	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( G e. _V -> tpos .(+) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
28		fvex 6201	. . . . . . 7 |- (oppg ` G ) e. _V
29	15, 28	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- O e. _V
30	15, 1	oppgbas 17781	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` O )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSSum ` O ) = ( LSSum ` O )
32	30, 16, 31	lsmfval 18053	. . . . . 6 |- ( O e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) )
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
34	27, 33	syl6reqr 2675	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( LSSum ` O ) = tpos .(+) )
35	34	oveqd 6667	. . 3 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( Ttpos .(+) U ) )
36		ovtpos 7367	. . 3 |- ( Ttpos .(+) U ) = ( U .(+) T )
37	35, 36	syl6eq 2672	. 2 |- ( G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
38		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) )
39		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
40		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( t = T /\ u = U ) -> (/) = (/) )
41	38, 39, 40	elovmpt2 6879	. . . . . 6 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) <-> ( T e. ~P ( Base ` G ) /\ U e. ~P ( Base ` G ) /\ x e. (/) ) )
42	41	simp3bi 1078	. . . . 5 |- ( x e. ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) -> x e. (/) )
43	42	ssriv 3607	. . . 4 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/)
44		ss0 3974	. . . 4 |- ( ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) C_ (/) -> ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . 3 |- ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) = (/)
46		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ~P ( Base ` G ) -> t C_ ( Base ` G ) )
47	46	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ ( Base ` G ) )
48		fvprc 6185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. G e. _V -> ( Base ` G ) = (/) )
49	48	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = (/) )
50	47, 49	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t C_ (/) )
51		ss0 3974	. . . . . . . . . . 11 |- ( t C_ (/) -> t = (/) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> t = (/) )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- u = u
54		mpt2eq12 6715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = (/) /\ u = u ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
55	52, 53, 54	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) )
56		mpt20 6725	. . . . . . . . 9 |- ( x e. (/) , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/)
57	55, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
58	57	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = ran (/) )
59		rn0 5377	. . . . . . 7 |- ran (/) = (/)
60	58, 59	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( -. G e. _V /\ t e. ~P ( Base ` G ) /\ u e. ~P ( Base ` G ) ) -> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) = (/) )
61	60	mpt2eq3dva 6719	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> ran ( x e. t , y e. u |-> ( x ( +g ` O ) y ) ) ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
62	33, 61	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` O ) = ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) )
63	62	oveqd 6667	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( T ( t e. ~P ( Base ` G ) , u e. ~P ( Base ` G ) |-> (/) ) U ) )
64		fvprc 6185	. . . . . 6 |- ( -. G e. _V -> ( LSSum ` G ) = (/) )
65	3, 64	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. G e. _V -> .(+) = (/) )
66	65	oveqd 6667	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = ( U (/) T ) )
67		0ov 6682	. . . 4 |- ( U (/) T ) = (/)
68	66, 67	syl6eq 2672	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( U .(+) T ) = (/) )
69	45, 63, 68	3eqtr4a 2682	. 2 |- ( -. G e. _V -> ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T ) )
70	37, 69	pm2.61i 176	1 |- ( T ( LSSum ` O ) U ) = ( U .(+) T )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  tpos ctpos 7351   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  opp_gcoppg 17775   LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-oppg 17776  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  lsmmod2  18089  lsmdisj2r  18098