Theorem reltxrnmnf 12172

Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reltxrnmnf	|- A. x e. RR* ( -oo < x -> E. y e. RR y < x )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem reltxrnmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 11950	. . 3 |- ( x e. RR* <-> ( x e. RR \/ x = +oo \/ x = -oo ) )
2		reltre 12170	. . . . . 6 |- A. x e. RR E. y e. RR y < x
3	2	rspec 2931	. . . . 5 |- ( x e. RR -> E. y e. RR y < x )
4	3	a1d 25	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( -oo < x -> E. y e. RR y < x ) )
5		0red 10041	. . . . . 6 |- ( x = +oo -> 0 e. RR )
6		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( y < x <-> 0 < x ) )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( x = +oo /\ y = 0 ) -> ( y < x <-> 0 < x ) )
8		0ltpnf 11956	. . . . . . 7 |- 0 < +oo
9		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = +oo -> ( 0 < x <-> 0 < +oo ) )
10	8, 9	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( x = +oo -> 0 < x )
11	5, 7, 10	rspcedvd 3317	. . . . 5 |- ( x = +oo -> E. y e. RR y < x )
12	11	a1d 25	. . . 4 |- ( x = +oo -> ( -oo < x -> E. y e. RR y < x ) )
13		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = -oo -> ( -oo < x <-> -oo < -oo ) )
14		mnfxr 10096	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
15		nltmnf 11963	. . . . . . 7 |- ( -oo e. RR* -> -. -oo < -oo )
16	15	pm2.21d 118	. . . . . 6 |- ( -oo e. RR* -> ( -oo < -oo -> E. y e. RR y < x ) )
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( -oo < -oo -> E. y e. RR y < x )
18	13, 17	syl6bi 243	. . . 4 |- ( x = -oo -> ( -oo < x -> E. y e. RR y < x ) )
19	4, 12, 18	3jaoi 1391	. . 3 |- ( ( x e. RR \/ x = +oo \/ x = -oo ) -> ( -oo < x -> E. y e. RR y < x ) )
20	1, 19	sylbi 207	. 2 |- ( x e. RR* -> ( -oo < x -> E. y e. RR y < x ) )
21	20	rgen 2922	1 |- A. x e. RR* ( -oo < x -> E. y e. RR y < x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  infmremnf  12173