Theorem rexanre 14086

Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexanre	|- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   ph, j   ps, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)

Proof of Theorem rexanre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
2	1	imim2i 16	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ph ) )
3	2	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
4	3	reximi 3011	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) )
5		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
6	5	imim2i 16	. . . . 5 |- ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( j <_ k -> ps ) )
7	6	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
8	7	reximi 3011	. . 3 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) )
9	4, 8	jca 554	. 2 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) )
10		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( j <_ k <-> x <_ k ) )
11	10	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( ( j <_ k -> ph ) <-> ( x <_ k -> ph ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( j = x -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> A. k e. A ( x <_ k -> ph ) ) )
13	12	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) <-> E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) )
14		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( j = y -> ( j <_ k <-> y <_ k ) )
15	14	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( ( j <_ k -> ps ) <-> ( y <_ k -> ps ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( j = y -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
17	16	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) <-> E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) )
18	13, 17	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
19		reeanv 3107	. . . 4 |- ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ E. y e. RR A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
20	18, 19	bitr4i 267	. . 3 |- ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) <-> E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
21		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> if ( x <_ y , y , x ) e. RR )
22	21	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> if ( x <_ y , y , x ) e. RR )
23	22	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> if ( x <_ y , y , x ) e. RR )
24		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) <-> ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) )
25		prth 595	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) )
26		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> x e. RR )
27		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> y e. RR )
28		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> A C_ RR )
29	28	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> k e. RR )
30		maxle 12022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ k e. RR ) -> ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k <-> ( x <_ k /\ y <_ k ) ) )
32	31	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x <_ k /\ y <_ k ) -> ( ph /\ ps ) ) ) )
33	25, 32	syl5ibr 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ k e. A ) -> ( ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
34	33	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A. k e. A ( ( x <_ k -> ph ) /\ ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
35	24, 34	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> A. k e. A ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
36		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( j = if ( x <_ y , y , x ) -> ( j <_ k <-> if ( x <_ y , y , x ) <_ k ) )
37	36	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( j = if ( x <_ y , y , x ) -> ( ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
38	37	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( j = if ( x <_ y , y , x ) -> ( A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> A. k e. A ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
39	38	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( if ( x <_ y , y , x ) e. RR /\ A. k e. A ( if ( x <_ y , y , x ) <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) )
40	23, 35, 39	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
41	40	rexlimdvva 3038	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR E. y e. RR ( A. k e. A ( x <_ k -> ph ) /\ A. k e. A ( y <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
42	20, 41	syl5bi 232	. 2 |- ( A C_ RR -> ( ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) ) )
43	9, 42	impbid2 216	1 |- ( A C_ RR -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ph ) /\ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ps ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  o1lo1  14268  rlimuni  14281  lo1add  14357  lo1mul  14358  rlimno1  14384