Theorem rlimno1 14384

Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimno1.1	|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
rlimno1.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( 1 / B ) ) ~~> r 0 )
rlimno1.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
rlimno1.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
rlimno1	|- ( ph -> -. ( x e. A |-> B ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem rlimno1

Dummy variables c y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fal 1490	. . . 4 |- -. F.
2		rlimno1.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
3		rlimno1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= 0 )
4	2, 3	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 / B ) e. CC )
5	4	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A ( 1 / B ) e. CC )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. x e. A ( 1 / B ) e. CC )
7		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
8		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
9		ifcl 4130	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( 1 <_ y , y , 1 ) e. RR )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( 1 <_ y , y , 1 ) e. RR )
11		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. RR+ )
13		max1 12016	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> 1 <_ if ( 1 <_ y , y , 1 ) )
14	8, 7, 13	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 <_ if ( 1 <_ y , y , 1 ) )
15	10, 12, 14	rpgecld 11911	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( 1 <_ y , y , 1 ) e. RR+ )
16	15	rpreccld 11882	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) e. RR+ )
17		rlimno1.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( 1 / B ) ) ~~> r 0 )
18	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( x e. A |-> ( 1 / B ) ) ~~> r 0 )
19	6, 16, 18	rlimi 14244	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) ) )
20		dmmptg 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( 1 / B ) e. CC -> dom ( x e. A |-> ( 1 / B ) ) = A )
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> ( 1 / B ) ) = A )
22		rlimss 14233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> ( 1 / B ) ) ~~> r 0 -> dom ( x e. A |-> ( 1 / B ) ) C_ RR )
23	17, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> ( 1 / B ) ) C_ RR )
24	21, 23	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A C_ RR )
26		rexanre 14086	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) <-> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) <-> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) ) ) )
28		rlimno1.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
29		ressxr 10083	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR*
30	24, 29	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ RR* )
31		supxrunb1 12149	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ RR* -> ( A. c e. RR E. x e. A c <_ x <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. c e. RR E. x e. A c <_ x <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
33	28, 32	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. c e. RR E. x e. A c <_ x )
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. c e. RR E. x e. A c <_ x )
35		r19.29 3072	. . . . . . . 8 |- ( ( A. c e. RR E. x e. A c <_ x /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) -> E. c e. RR ( E. x e. A c <_ x /\ A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) )
36		r19.29r 3073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. A c <_ x /\ A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) -> E. x e. A ( c <_ x /\ ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) )
37	2	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
38	3	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> B =/= 0 )
39	37, 38	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR+ )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( abs ` B ) e. RR+ )
41	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> if ( 1 <_ y , y , 1 ) e. RR+ )
42	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> 1 e. RR )
43		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 <_ 1
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> 0 <_ 1 )
45	40	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( abs ` B ) e. RR )
46	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> y e. RR )
47	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> if ( 1 <_ y , y , 1 ) e. RR )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( abs ` B ) <_ y )
49		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> y <_ if ( 1 <_ y , y , 1 ) )
50	8, 46, 49	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> y <_ if ( 1 <_ y , y , 1 ) )
51	45, 46, 47, 48, 50	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( abs ` B ) <_ if ( 1 <_ y , y , 1 ) )
52	40, 41, 42, 44, 51	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) <_ ( 1 / ( abs ` B ) ) )
53	41	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) e. RR )
54	40	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( 1 / ( abs ` B ) ) e. RR )
55	53, 54	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) <_ ( 1 / ( abs ` B ) ) <-> -. ( 1 / ( abs ` B ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) ) )
56	52, 55	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> -. ( 1 / ( abs ` B ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) )
57	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> B e. CC )
58	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> B =/= 0 )
59	57, 58	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( 1 / B ) e. CC )
60	59	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( ( 1 / B ) - 0 ) = ( 1 / B ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) = ( abs ` ( 1 / B ) ) )
62		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> 1 e. CC )
63	62, 57, 58	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( abs ` ( 1 / B ) ) = ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` B ) ) )
64	42, 44	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( abs ` 1 ) = 1 )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` B ) ) = ( 1 / ( abs ` B ) ) )
66	61, 63, 65	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) = ( 1 / ( abs ` B ) ) )
67	66	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) <-> ( 1 / ( abs ` B ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) ) )
68	56, 67	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> -. ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) )
69	68	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) -> F. ) )
70	69	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( abs ` B ) <_ y /\ ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) ) -> F. ) )
71	70	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) -> F. ) )
72	71	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) -> ( c <_ x -> F. ) ) )
73	72	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( c <_ x -> ( ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) -> F. ) ) )
74	73	impd 447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( c <_ x /\ ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) -> F. ) )
75	74	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. x e. A ( c <_ x /\ ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) -> F. ) )
76	36, 75	syl5 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( E. x e. A c <_ x /\ A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) -> F. ) )
77	76	rexlimdvw 3034	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. c e. RR ( E. x e. A c <_ x /\ A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) -> F. ) )
78	35, 77	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( A. c e. RR E. x e. A c <_ x /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) ) -> F. ) )
79	34, 78	mpand 711	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) /\ ( abs ` B ) <_ y ) ) -> F. ) )
80	27, 79	sylbird 250	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` ( ( 1 / B ) - 0 ) ) < ( 1 / if ( 1 <_ y , y , 1 ) ) ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) ) -> F. ) )
81	19, 80	mpand 711	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) -> F. ) )
82	1, 81	mtoi 190	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> -. E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) )
83	82	nrexdv 3001	. 2 |- ( ph -> -. E. y e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) )
84	24, 2	elo1mpt 14265	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> E. c e. RR E. y e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) ) )
85		rexcom 3099	. . 3 |- ( E. c e. RR E. y e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) <-> E. y e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) )
86	84, 85	syl6bb 276	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> E. y e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ y ) ) )
87	83, 86	mtbird 315	1 |- ( ph -> -. ( x e. A |-> B ) e. O(1) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F. wfal 1488   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  logno1  24382