Theorem rnelfmlem 21756

Description: Lemma for rnelfm 21757. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.)

Assertion

Ref	Expression
rnelfmlem	|- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, L   x, X   x, Y

Proof of Theorem rnelfmlem

Dummy variables r s t u v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1066	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> F : Y --> X )
2		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' F " x ) C_ dom F
3		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( F : Y --> X -> dom F = Y )
4	2, 3	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( F : Y --> X -> ( `' F " x ) C_ Y )
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( `' F " x ) C_ Y )
6		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> Y e. A )
7		elpw2g 4827	. . . . . . 7 |- ( Y e. A -> ( ( `' F " x ) e. ~P Y <-> ( `' F " x ) C_ Y ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( ( `' F " x ) e. ~P Y <-> ( `' F " x ) C_ Y ) )
9	5, 8	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( `' F " x ) e. ~P Y )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) -> ( `' F " x ) e. ~P Y )
11		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) = ( x e. L |-> ( `' F " x ) )
12	10, 11	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) : L --> ~P Y )
13		frn 6053	. . 3 |- ( ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) : L --> ~P Y -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ~P Y )
14	12, 13	syl 17	. 2 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ~P Y )
15		filtop 21659	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> X e. L )
16	15	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> X e. L )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> X e. L )
18		fimacnv 6347	. . . . . . . . 9 |- ( F : Y --> X -> ( `' F " X ) = Y )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( F : Y --> X -> Y = ( `' F " X ) )
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> Y = ( `' F " X ) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> Y = ( `' F " X ) )
22		imaeq2 5462	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( `' F " x ) = ( `' F " X ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( Y = ( `' F " x ) <-> Y = ( `' F " X ) ) )
24	23	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( X e. L /\ Y = ( `' F " X ) ) -> E. x e. L Y = ( `' F " x ) )
25	17, 21, 24	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> E. x e. L Y = ( `' F " x ) )
26	11	elrnmpt 5372	. . . . . . 7 |- ( Y e. A -> ( Y e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L Y = ( `' F " x ) ) )
27	26	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( Y e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L Y = ( `' F " x ) ) )
28	27	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( Y e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L Y = ( `' F " x ) ) )
29	25, 28	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> Y e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
30		ne0i 3921	. . . 4 |- ( Y e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) =/= (/) )
31	29, 30	syl 17	. . 3 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) =/= (/) )
32		0nelfil 21653	. . . . . . 7 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> -. (/) e. L )
33	32	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> -. (/) e. L )
34	33	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> -. (/) e. L )
35		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
36	11	elrnmpt 5372	. . . . . . 7 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L (/) = ( `' F " x ) ) )
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L (/) = ( `' F " x ) )
38		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : Y --> X -> F Fn Y )
39		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn Y -> ( y e. ran F <-> E. z e. Y ( F ` z ) = y ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : Y --> X -> ( y e. ran F <-> E. z e. Y ( F ` z ) = y ) )
41	40	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( y e. ran F <-> E. z e. Y ( F ` z ) = y ) )
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) -> ( y e. ran F <-> E. z e. Y ( F ` z ) = y ) )
43		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` z ) = y -> ( ( F ` z ) e. x <-> y e. x ) )
44	43	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. x /\ ( F ` z ) = y ) -> ( F ` z ) e. x )
45	44	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. L /\ y e. x ) /\ ( z e. Y /\ ( F ` z ) = y ) ) -> ( F ` z ) e. x )
46	45	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) /\ ( z e. Y /\ ( F ` z ) = y ) ) -> ( F ` z ) e. x )
47		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : Y --> X -> Fun F )
48	47	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> Fun F )
49	48	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) /\ ( z e. Y /\ ( F ` z ) = y ) ) -> Fun F )
50	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : Y --> X -> ( z e. dom F <-> z e. Y ) )
51	50	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : Y --> X /\ z e. Y ) -> z e. dom F )
52	51	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ z e. Y ) -> z e. dom F )
53	52	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ z e. Y ) -> z e. dom F )
54	53	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) /\ ( z e. Y /\ ( F ` z ) = y ) ) -> z e. dom F )
55		fvimacnv 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( ( F ` z ) e. x <-> z e. ( `' F " x ) ) )
56	49, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) /\ ( z e. Y /\ ( F ` z ) = y ) ) -> ( ( F ` z ) e. x <-> z e. ( `' F " x ) ) )
57	46, 56	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) /\ ( z e. Y /\ ( F ` z ) = y ) ) -> z e. ( `' F " x ) )
58		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( `' F " x ) -> -. ( `' F " x ) = (/) )
59		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' F " x ) = (/) <-> (/) = ( `' F " x ) )
60	58, 59	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( `' F " x ) -> -. (/) = ( `' F " x ) )
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) /\ ( z e. Y /\ ( F ` z ) = y ) ) -> -. (/) = ( `' F " x ) )
62	61	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = y -> -. (/) = ( `' F " x ) ) )
63	42, 62	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) -> ( y e. ran F -> -. (/) = ( `' F " x ) ) )
64	63	con2d 129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ y e. x ) ) -> ( (/) = ( `' F " x ) -> -. y e. ran F ) )
65	64	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) -> ( y e. x -> ( (/) = ( `' F " x ) -> -. y e. ran F ) ) )
66	65	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ x e. L ) -> ( (/) = ( `' F " x ) -> ( y e. x -> -. y e. ran F ) ) )
67	66	impr 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ (/) = ( `' F " x ) ) ) -> ( y e. x -> -. y e. ran F ) )
68	67	alrimiv 1855	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ (/) = ( `' F " x ) ) ) -> A. y ( y e. x -> -. y e. ran F ) )
69		imnan 438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. x -> -. y e. ran F ) <-> -. ( y e. x /\ y e. ran F ) )
70		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( x i^i ran F ) <-> ( y e. x /\ y e. ran F ) )
71	69, 70	xchbinxr 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x -> -. y e. ran F ) <-> -. y e. ( x i^i ran F ) )
72	71	albii 1747	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( y e. x -> -. y e. ran F ) <-> A. y -. y e. ( x i^i ran F ) )
73		eq0 3929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x i^i ran F ) = (/) <-> A. y -. y e. ( x i^i ran F ) )
74		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x i^i ran F ) = (/) <-> (/) = ( x i^i ran F ) )
75	72, 73, 74	3bitr2i 288	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y e. x -> -. y e. ran F ) <-> (/) = ( x i^i ran F ) )
76	68, 75	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ (/) = ( `' F " x ) ) ) -> (/) = ( x i^i ran F ) )
77		simpll2 1101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ (/) = ( `' F " x ) ) ) -> L e. ( Fil ` X ) )
78		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ (/) = ( `' F " x ) ) ) -> x e. L )
79		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ (/) = ( `' F " x ) ) ) -> ran F e. L )
80		filin 21658	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ x e. L /\ ran F e. L ) -> ( x i^i ran F ) e. L )
81	77, 78, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ (/) = ( `' F " x ) ) ) -> ( x i^i ran F ) e. L )
82	76, 81	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( x e. L /\ (/) = ( `' F " x ) ) ) -> (/) e. L )
83	82	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( E. x e. L (/) = ( `' F " x ) -> (/) e. L ) )
84	37, 83	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( (/) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) -> (/) e. L ) )
85	34, 84	mtod 189	. . . 4 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> -. (/) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
86		df-nel 2898	. . . 4 |- ( (/) e/ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> -. (/) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
87	85, 86	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> (/) e/ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
88		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- r e. _V
89	11	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> ( r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L r = ( `' F " x ) ) )
90	88, 89	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L r = ( `' F " x ) )
91		imaeq2 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( `' F " x ) = ( `' F " u ) )
92	91	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( r = ( `' F " x ) <-> r = ( `' F " u ) ) )
93	92	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. L r = ( `' F " x ) <-> E. u e. L r = ( `' F " u ) )
94	90, 93	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. u e. L r = ( `' F " u ) )
95		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- s e. _V
96	11	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( s e. _V -> ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L s = ( `' F " x ) ) )
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L s = ( `' F " x ) )
98		imaeq2 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( `' F " x ) = ( `' F " v ) )
99	98	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( s = ( `' F " x ) <-> s = ( `' F " v ) ) )
100	99	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. L s = ( `' F " x ) <-> E. v e. L s = ( `' F " v ) )
101	97, 100	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. v e. L s = ( `' F " v ) )
102	94, 101	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> ( E. u e. L r = ( `' F " u ) /\ E. v e. L s = ( `' F " v ) ) )
103		reeanv 3107	. . . . . 6 |- ( E. u e. L E. v e. L ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) <-> ( E. u e. L r = ( `' F " u ) /\ E. v e. L s = ( `' F " v ) ) )
104	102, 103	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> E. u e. L E. v e. L ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) )
105		filin 21658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ u e. L /\ v e. L ) -> ( u i^i v ) e. L )
106	105	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( u e. L /\ v e. L ) ) -> ( u i^i v ) e. L )
107	106	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ( u e. L /\ v e. L ) ) -> ( u i^i v ) e. L )
108		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ( u e. L /\ v e. L ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " ( u i^i v ) ) )
109		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( u i^i v ) -> ( `' F " x ) = ( `' F " ( u i^i v ) ) )
110	109	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( u i^i v ) -> ( ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " x ) <-> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " ( u i^i v ) ) ) )
111	110	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u i^i v ) e. L /\ ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " ( u i^i v ) ) ) -> E. x e. L ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " x ) )
112	107, 108, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ( u e. L /\ v e. L ) ) -> E. x e. L ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " x ) )
113	112	3adantl1 1217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ( u e. L /\ v e. L ) ) -> E. x e. L ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " x ) )
114	113	ad2ant2r 783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> E. x e. L ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " x ) )
115		simpll1 1100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> Y e. A )
116		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F " ( u i^i v ) ) C_ dom F
117	116, 3	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : Y --> X -> ( `' F " ( u i^i v ) ) C_ Y )
118	117	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) C_ Y )
119	118	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) C_ Y )
120	115, 119	ssexd 4805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) e. _V )
121	11	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " ( u i^i v ) ) e. _V -> ( ( `' F " ( u i^i v ) ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " x ) ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> ( ( `' F " ( u i^i v ) ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " x ) ) )
123	114, 122	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
124		simprrl 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> r = ( `' F " u ) )
125		simprrr 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> s = ( `' F " v ) )
126	124, 125	ineq12d 3815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> ( r i^i s ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) )
127		funcnvcnv 5956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
128		imain 5974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' `' F -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) )
129	47, 127, 128	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Y --> X -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) )
130	129	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) )
131	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) )
132	126, 131	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> ( r i^i s ) = ( `' F " ( u i^i v ) ) )
133		eqimss2 3658	. . . . . . . . 9 |- ( ( r i^i s ) = ( `' F " ( u i^i v ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) C_ ( r i^i s ) )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) C_ ( r i^i s ) )
135		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( `' F " ( u i^i v ) ) -> ( t C_ ( r i^i s ) <-> ( `' F " ( u i^i v ) ) C_ ( r i^i s ) ) )
136	135	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " ( u i^i v ) ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ ( `' F " ( u i^i v ) ) C_ ( r i^i s ) ) -> E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) )
137	123, 134, 136	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) /\ ( ( u e. L /\ v e. L ) /\ ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) ) ) -> E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) )
138	137	exp32 631	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( ( u e. L /\ v e. L ) -> ( ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) -> E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) ) ) )
139	138	rexlimdvv 3037	. . . . 5 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( E. u e. L E. v e. L ( r = ( `' F " u ) /\ s = ( `' F " v ) ) -> E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) ) )
140	104, 139	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( ( r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) -> E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) ) )
141	140	ralrimivv 2970	. . 3 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> A. r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) A. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) )
142	31, 87, 141	3jca 1242	. 2 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) =/= (/) /\ (/) e/ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ A. r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) A. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) ) )
143		isfbas2 21639	. . 3 |- ( Y e. A -> ( ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) <-> ( ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ~P Y /\ ( ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) =/= (/) /\ (/) e/ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ A. r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) A. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) ) ) ) )
144	6, 143	syl 17	. 2 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ( ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) <-> ( ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ~P Y /\ ( ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) =/= (/) /\ (/) e/ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) /\ A. r e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) A. s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) E. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) t C_ ( r i^i s ) ) ) ) )
145	14, 142, 144	mpbir2and 957	1 |- ( ( ( Y e. A /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   fBascfbas 19734   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-fbas 19743  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  rnelfm  21757  fmfnfm  21762