Theorem smo11 7461

Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smo11	|- ( ( F : A --> B /\ Smo F ) -> F : A -1-1-> B )

Proof of Theorem smo11

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ Smo F ) -> F : A --> B )
2		ffn 6045	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		smodm2 7452	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> Ord A )
4		ordelord 5745	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ z e. A ) -> Ord z )
5	4	ex 450	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( z e. A -> Ord z ) )
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( z e. A -> Ord z ) )
7		ordelord 5745	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ w e. A ) -> Ord w )
8	7	ex 450	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( w e. A -> Ord w ) )
9	3, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( w e. A -> Ord w ) )
10	6, 9	anim12d 586	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( Ord z /\ Ord w ) ) )
11		ordtri3or 5755	. . . . . . 7 |- ( ( Ord z /\ Ord w ) -> ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) )
12		simp1rr 1127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ z e. w /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> w e. A )
13		smoel2 7460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( x e. A /\ y e. x ) ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
14	13	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
16	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ z e. w /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
17		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ z e. w /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> z e. w )
18		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ z e. w /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
20	19	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( ( F ` y ) e. ( F ` x ) <-> ( F ` y ) e. ( F ` w ) ) )
21	20	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) <-> A. y e. w ( F ` y ) e. ( F ` w ) ) )
22	21	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. A -> ( A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. y e. w ( F ` y ) e. ( F ` w ) ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) e. ( F ` w ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) )
25	24	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. w ( F ` y ) e. ( F ` w ) -> ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) )
26	22, 25	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. A -> ( A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) ) )
27	26	3imp 1256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) /\ z e. w ) -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) )
28		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> ( ( F ` z ) e. ( F ` w ) <-> ( F ` w ) e. ( F ` w ) ) )
29	28	biimpac 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` z ) e. ( F ` w ) /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
30	27, 29	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) /\ z e. w ) /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
31	12, 16, 17, 18, 30	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ z e. w /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
32		smofvon2 7453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Smo F -> ( F ` w ) e. On )
33		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` w ) e. On -> Ord ( F ` w ) )
34		ordirr 5741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord ( F ` w ) -> -. ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Smo F -> -. ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> -. ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
37	36	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ z e. w /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> -. ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
38	31, 37	pm2.21dd 186	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ z e. w /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> z = w )
39	38	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( z e. w -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) )
40		ax-1 6	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( z = w -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) )
42		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ w e. z /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> z e. A )
43	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ w e. z /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
44		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ w e. z /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> w e. z )
45		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ w e. z /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
47	46	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( ( F ` y ) e. ( F ` x ) <-> ( F ` y ) e. ( F ` z ) ) )
48	47	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) <-> A. y e. z ( F ` y ) e. ( F ` z ) ) )
49	48	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. A -> ( A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. y e. z ( F ` y ) e. ( F ` z ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
51	50	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w -> ( ( F ` y ) e. ( F ` z ) <-> ( F ` w ) e. ( F ` z ) ) )
52	51	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. z ( F ` y ) e. ( F ` z ) -> ( w e. z -> ( F ` w ) e. ( F ` z ) ) )
53	49, 52	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A -> ( A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> ( w e. z -> ( F ` w ) e. ( F ` z ) ) ) )
54	53	3imp 1256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) /\ w e. z ) -> ( F ` w ) e. ( F ` z ) )
55		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> ( ( F ` w ) e. ( F ` z ) <-> ( F ` w ) e. ( F ` w ) ) )
56	55	biimpac 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` w ) e. ( F ` z ) /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
57	54, 56	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) /\ w e. z ) /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
58	42, 43, 44, 45, 57	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ w e. z /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
59	36	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ w e. z /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> -. ( F ` w ) e. ( F ` w ) )
60	58, 59	pm2.21dd 186	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) /\ w e. z /\ ( F ` z ) = ( F ` w ) ) -> z = w )
61	60	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( w e. z -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) )
62	39, 41, 61	3jaod 1392	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( z e. w \/ z = w \/ w e. z ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) )
63	11, 62	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( Ord z /\ Ord w ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) )
64	63	ex 450	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( Ord z /\ Ord w ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) ) )
65	10, 64	mpdd 43	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) )
66	65	ralrimivv 2970	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> A. z e. A A. w e. A ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
67	2, 66	sylan 488	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ Smo F ) -> A. z e. A A. w e. A ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
68		dff13 6512	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. z e. A A. w e. A ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) )
69	1, 67, 68	sylanbrc 698	1 |- ( ( F : A --> B /\ Smo F ) -> F : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896  df-smo 7443

This theorem is referenced by:  smoiso2  7466  alephf1ALT  8926