Theorem smoord 7462

Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smoord	|- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) )

Proof of Theorem smoord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smodm2 7452	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> Ord A )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> Ord A )
3		simprl 794	. . 3 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> C e. A )
4		ordelord 5745	. . 3 |- ( ( Ord A /\ C e. A ) -> Ord C )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> Ord C )
6		simprr 796	. . 3 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> D e. A )
7		ordelord 5745	. . 3 |- ( ( Ord A /\ D e. A ) -> Ord D )
8	2, 6, 7	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> Ord D )
9		ordtri3or 5755	. . 3 |- ( ( Ord C /\ Ord D ) -> ( C e. D \/ C = D \/ D e. C ) )
10		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C e. D ) -> C e. D )
11		smoel2 7460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( D e. A /\ C e. D ) ) -> ( F ` C ) e. ( F ` D ) )
12	11	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ D e. A ) -> ( C e. D -> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) )
13	12	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C e. D -> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) )
14	13	3impia 1261	. . . . . 6 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C e. D ) -> ( F ` C ) e. ( F ` D ) )
15	10, 14	2thd 255	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C e. D ) -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) )
16	15	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C e. D -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) ) )
17		ordirr 5741	. . . . . . . . 9 |- ( Ord C -> -. C e. C )
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> -. C e. C )
19	18	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C = D ) -> -. C e. C )
20		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C = D ) -> C = D )
21	19, 20	neleqtrd 2722	. . . . . 6 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C = D ) -> -. C e. D )
22		smofvon2 7453	. . . . . . . . . 10 |- ( Smo F -> ( F ` C ) e. On )
23	22	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( F ` C ) e. On )
24		eloni 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` C ) e. On -> Ord ( F ` C ) )
25		ordirr 5741	. . . . . . . . 9 |- ( Ord ( F ` C ) -> -. ( F ` C ) e. ( F ` C ) )
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> -. ( F ` C ) e. ( F ` C ) )
27	26	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C = D ) -> -. ( F ` C ) e. ( F ` C ) )
28	20	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C = D ) -> ( F ` C ) = ( F ` D ) )
29	27, 28	neleqtrd 2722	. . . . . 6 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C = D ) -> -. ( F ` C ) e. ( F ` D ) )
30	21, 29	2falsed 366	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ C = D ) -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) )
31	30	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C = D -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) ) )
32	8	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> Ord D )
33		ordn2lp 5743	. . . . . . . 8 |- ( Ord D -> -. ( D e. C /\ C e. D ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> -. ( D e. C /\ C e. D ) )
35		pm3.2 463	. . . . . . . 8 |- ( D e. C -> ( C e. D -> ( D e. C /\ C e. D ) ) )
36	35	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> ( C e. D -> ( D e. C /\ C e. D ) ) )
37	34, 36	mtod 189	. . . . . 6 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> -. C e. D )
38	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> Ord ( F ` C ) )
39	38	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> Ord ( F ` C ) )
40		ordn2lp 5743	. . . . . . . 8 |- ( Ord ( F ` C ) -> -. ( ( F ` C ) e. ( F ` D ) /\ ( F ` D ) e. ( F ` C ) ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> -. ( ( F ` C ) e. ( F ` D ) /\ ( F ` D ) e. ( F ` C ) ) )
42		smoel2 7460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. C ) ) -> ( F ` D ) e. ( F ` C ) )
43	42	adantrlr 759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) ) -> ( F ` D ) e. ( F ` C ) )
44	43	3impb 1260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> ( F ` D ) e. ( F ` C ) )
45		pm3.21 464	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` D ) e. ( F ` C ) -> ( ( F ` C ) e. ( F ` D ) -> ( ( F ` C ) e. ( F ` D ) /\ ( F ` D ) e. ( F ` C ) ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> ( ( F ` C ) e. ( F ` D ) -> ( ( F ` C ) e. ( F ` D ) /\ ( F ` D ) e. ( F ` C ) ) ) )
47	41, 46	mtod 189	. . . . . 6 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> -. ( F ` C ) e. ( F ` D ) )
48	37, 47	2falsed 366	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) /\ D e. C ) -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) )
49	48	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( D e. C -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) ) )
50	16, 31, 49	3jaod 1392	. . 3 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( C e. D \/ C = D \/ D e. C ) -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) ) )
51	9, 50	syl5 34	. 2 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( Ord C /\ Ord D ) -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) ) )
52	5, 8, 51	mp2and 715	1 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C e. D <-> ( F ` C ) e. ( F ` D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-smo 7443

This theorem is referenced by:  smoword  7463  smoiso2  7466