Theorem smogt 7464

Description: A strictly monotone ordinal function is greater than or equal to its argument. Exercise 1 in [TakeutiZaring] p. 50. (Contributed by Andrew Salmon, 23-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smogt	|- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ C e. A ) -> C C_ ( F ` C ) )

Proof of Theorem smogt

Dummy variables y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 |- ( x = C -> x = C )
2		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( F ` x ) = ( F ` C ) )
3	1, 2	sseq12d 3634	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x C_ ( F ` x ) <-> C C_ ( F ` C ) ) )
4	3	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> x C_ ( F ` x ) ) <-> ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> C C_ ( F ` C ) ) ) )
5		smodm2 7452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> Ord A )
6	5	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> Ord A )
7		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> x e. A )
8		ordelord 5745	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> Ord x )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> Ord x )
10		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
11	10	elon 5732	. . . . . . . 8 |- ( x e. On <-> Ord x )
12	9, 11	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> x e. On )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
14	13	3anbi3d 1405	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) <-> ( F Fn A /\ Smo F /\ y e. A ) ) )
15		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
17	15, 16	sseq12d 3634	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x C_ ( F ` x ) <-> y C_ ( F ` y ) ) )
18	14, 17	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> x C_ ( F ` x ) ) <-> ( ( F Fn A /\ Smo F /\ y e. A ) -> y C_ ( F ` y ) ) ) )
19		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> F Fn A )
20		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> Smo F )
21		ordtr1 5767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord A -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
22	21	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord A -> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
23	6, 7, 22	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> ( y e. x -> y e. A ) )
24	23	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> y e. A )
25		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ y e. A ) -> ( ( ( F Fn A /\ Smo F /\ y e. A ) -> y C_ ( F ` y ) ) -> y C_ ( F ` y ) ) )
26	19, 20, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( ( ( F Fn A /\ Smo F /\ y e. A ) -> y C_ ( F ` y ) ) -> y C_ ( F ` y ) ) )
27	26	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( ( F Fn A /\ Smo F /\ y e. A ) -> y C_ ( F ` y ) ) -> A. y e. x y C_ ( F ` y ) ) )
28	5	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> Ord A )
29		simp31 1097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> x e. A )
30	28, 29, 8	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> Ord x )
31		simp32 1098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> y e. x )
32		ordelord 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord x /\ y e. x ) -> Ord y )
33	30, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> Ord y )
34		smofvon2 7453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Smo F -> ( F ` x ) e. On )
35	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> ( F ` x ) e. On )
36		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. On -> Ord ( F ` x ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> Ord ( F ` x ) )
38		simp33 1099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> y C_ ( F ` y ) )
39		smoel2 7460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( x e. A /\ y e. x ) ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
40	39	3adantr3 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F ) /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
41	40	3impa 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
42		ordtr2 5768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord y /\ Ord ( F ` x ) ) -> ( ( y C_ ( F ` y ) /\ ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) -> y e. ( F ` x ) ) )
43	42	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Ord y /\ Ord ( F ` x ) ) /\ ( y C_ ( F ` y ) /\ ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) -> y e. ( F ` x ) )
44	33, 37, 38, 41, 43	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) ) -> y e. ( F ` x ) )
45	44	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( ( x e. A /\ y e. x /\ y C_ ( F ` y ) ) -> y e. ( F ` x ) ) )
46	45	3expd 1284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( x e. A -> ( y e. x -> ( y C_ ( F ` y ) -> y e. ( F ` x ) ) ) ) )
47	46	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> ( y e. x -> ( y C_ ( F ` y ) -> y e. ( F ` x ) ) ) )
48	47	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( y C_ ( F ` y ) -> y e. ( F ` x ) ) )
49	48	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> ( A. y e. x y C_ ( F ` y ) -> A. y e. x y e. ( F ` x ) ) )
50		dfss3 3592	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ ( F ` x ) <-> A. y e. x y e. ( F ` x ) )
51	49, 50	syl6ibr 242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> ( A. y e. x y C_ ( F ` y ) -> x C_ ( F ` x ) ) )
52	27, 51	syldc 48	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x ( ( F Fn A /\ Smo F /\ y e. A ) -> y C_ ( F ` y ) ) -> ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> x C_ ( F ` x ) ) )
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( F Fn A /\ Smo F /\ y e. A ) -> y C_ ( F ` y ) ) -> ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> x C_ ( F ` x ) ) ) )
54	18, 53	tfis2 7056	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> x C_ ( F ` x ) ) )
55	12, 54	mpcom 38	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ x e. A ) -> x C_ ( F ` x ) )
56	55	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( x e. A -> x C_ ( F ` x ) ) )
57	56	com12 32	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> x C_ ( F ` x ) ) )
58	4, 57	vtoclga 3272	. . 3 |- ( C e. A -> ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> C C_ ( F ` C ) ) )
59	58	com12 32	. 2 |- ( ( F Fn A /\ Smo F ) -> ( C e. A -> C C_ ( F ` C ) ) )
60	59	3impia 1261	1 |- ( ( F Fn A /\ Smo F /\ C e. A ) -> C C_ ( F ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-smo 7443

This theorem is referenced by:  smorndom  7465  oismo  8445