Theorem smores2 7451

Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smores2	|- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Proof of Theorem smores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 7444	. . . . . . 7 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
2	1	simp1bi 1076	. . . . . 6 |- ( Smo F -> F : dom F --> On )
3		ffun 6048	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> Fun F )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( Smo F -> Fun F )
5		funres 5929	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Fun ( F |` A ) )
6		funfn 5918	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
8	4, 7	syl 17	. . . 4 |- ( Smo F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
9		df-ima 5127	. . . . . 6 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
10		imassrn 5477	. . . . . 6 |- ( F " A ) C_ ran F
11	9, 10	eqsstr3i 3636	. . . . 5 |- ran ( F |` A ) C_ ran F
12		frn 6053	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> ran F C_ On )
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( Smo F -> ran F C_ On )
14	11, 13	syl5ss 3614	. . . 4 |- ( Smo F -> ran ( F |` A ) C_ On )
15		df-f 5892	. . . 4 |- ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On <-> ( ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) /\ ran ( F |` A ) C_ On ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 698	. . 3 |- ( Smo F -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
17	16	adantr 481	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
18		smodm 7448	. . 3 |- ( Smo F -> Ord dom F )
19		ordin 5753	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord ( A i^i dom F ) )
20		dmres 5419	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
21		ordeq 5730	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F ) -> ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) )
23	19, 22	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord dom ( F |` A ) )
24	23	ancoms 469	. . 3 |- ( ( Ord dom F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
25	18, 24	sylan 488	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
26		resss 5422	. . . . . 6 |- ( F |` A ) C_ F
27		dmss 5323	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) C_ F -> dom ( F |` A ) C_ dom F )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) C_ dom F
29	1	simp3bi 1078	. . . . 5 |- ( Smo F -> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
30		ssralv 3666	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) C_ dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
31	28, 29, 30	mpsyl 68	. . . 4 |- ( Smo F -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
32	31	adantr 481	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
33		ordtr1 5767	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord dom ( F |` A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
34	25, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
35		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i dom F ) C_ A
36	20, 35	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` A ) C_ A
37	36	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. dom ( F |` A ) -> y e. A )
38	34, 37	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. A ) )
39	38	expcomd 454	. . . . . . . 8 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( x e. dom ( F |` A ) -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
40	39	imp31 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> y e. A )
41		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
43	36	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> x e. A )
44		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
47	42, 46	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
48	47	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> ( A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
49	48	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
50	32, 49	mpbird 247	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) )
51		dfsmo2 7444	. 2 |- ( Smo ( F |` A ) <-> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On /\ Ord dom ( F |` A ) /\ A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) ) )
52	17, 25, 50, 51	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-smo 7443

This theorem is referenced by: (None)