Theorem subgid 17596

Description: A group is a subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgid	|- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem subgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Grp )
2		ssid 3624	. . 3 |- B C_ B
3	2	a1i 11	. 2 |- ( G e. Grp -> B C_ B )
4		issubg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
5	4	ressid 15935	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( G ↾s B ) = G )
6	5, 1	eqeltrd 2701	. 2 |- ( G e. Grp -> ( G ↾s B ) e. Grp )
7	4	issubg 17594	. 2 |- ( B e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ B C_ B /\ ( G ↾s B ) e. Grp ) )
8	1, 3, 6, 7	syl3anbrc 1246	1 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ress 15865  df-subg 17591

This theorem is referenced by:  nsgid  17640  gaid2  17736  pgpfac1  18479  pgpfac  18483  ablfaclem2  18485  ablfac  18487