Theorem subgss 17595

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgss	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	issubg 17594	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp2bi 1077	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-subg 17591

This theorem is referenced by:  subgbas  17598  subg0  17600  subginv  17601  subgsubcl  17605  subgsub  17606  subgmulgcl  17607  subgmulg  17608  issubg2  17609  issubg4  17613  subsubg  17617  subgint  17618  nsgconj  17627  nsgacs  17630  ssnmz  17636  eqger  17644  eqgid  17646  eqgen  17647  eqgcpbl  17648  lagsubg2  17655  lagsubg  17656  resghm  17676  ghmnsgima  17684  conjsubg  17692  conjsubgen  17693  conjnmz  17694  conjnmzb  17695  gicsubgen  17721  subgga  17733  gasubg  17735  gastacos  17743  orbstafun  17744  cntrsubgnsg  17773  oddvds2  17983  subgpgp  18012  odcau  18019  pgpssslw  18029  sylow2blem1  18035  sylow2blem2  18036  sylow2blem3  18037  slwhash  18039  fislw  18040  sylow2  18041  sylow3lem1  18042  sylow3lem2  18043  sylow3lem3  18044  sylow3lem4  18045  sylow3lem5  18046  sylow3lem6  18047  lsmval  18063  lsmelval  18064  lsmelvali  18065  lsmelvalm  18066  lsmsubg  18069  lsmub1  18071  lsmub2  18072  lsmless1  18074  lsmless2  18075  lsmless12  18076  lsmass  18083  subglsm  18086  lsmmod  18088  cntzrecd  18091  lsmcntz  18092  lsmcntzr  18093  lsmdisj2  18095  subgdisj1  18104  pj1f  18110  pj1id  18112  pj1lid  18114  pj1rid  18115  pj1ghm  18116  subgabl  18241  ablcntzd  18260  lsmcom  18261  dprdff  18411  dprdfadd  18419  dprdres  18427  dprdss  18428  subgdmdprd  18433  dprdcntz2  18437  dmdprdsplit2lem  18444  ablfacrp  18465  ablfac1eu  18472  pgpfac1lem1  18473  pgpfac1lem2  18474  pgpfac1lem3a  18475  pgpfac1lem3  18476  pgpfac1lem4  18477  pgpfac1lem5  18478  pgpfaclem1  18480  pgpfaclem2  18481  pgpfaclem3  18482  ablfaclem3  18486  ablfac2  18488  issubrg2  18800  issubrg3  18808  islss4  18962  mpllsslem  19435  phssip  20003  subgtgp  21909  subgntr  21910  opnsubg  21911  clssubg  21912  clsnsg  21913  cldsubg  21914  qustgpopn  21923  qustgphaus  21926  tgptsmscls  21953  subgnm  22437  subgngp  22439  lssnlm  22505  efgh  24287  efabl  24296  efsubm  24297  idomsubgmo  37776