Theorem subggrp 17597

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subggrp	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 |- H = ( G ↾s S )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
3	2	issubg 17594	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
4	3	simp3bi 1078	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
5	1, 4	syl5eqel 2705	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-subg 17591

This theorem is referenced by:  subg0  17600  subginv  17601  subg0cl  17602  subginvcl  17603  subgcl  17604  issubg2  17609  issubgrpd  17611  subsubg  17617  resghm  17676  resghm2b  17678  subgga  17733  gasubg  17735  odsubdvds  17986  pgp0  18011  subgpgp  18012  sylow2blem2  18036  slwhash  18039  fislw  18040  subglsm  18086  pj1ghm  18116  subgabl  18241  cycsubgcyg  18302  subgdmdprd  18433  subgdprd  18434  ablfacrplem  18464  pgpfaclem1  18480  pgpfaclem3  18482  ablfaclem3  18486  issubrg2  18800  islss3  18959  mplgrp  19450  zringcyg  19839  cnmsgngrp  19925  psgnghm  19926  scmatghm  20339  m2cpmrngiso  20563  subgtgp  21909  subgngp  22439  reefgim  24204  amgmlemALT  42549