Theorem ablfaclem2 18485

Description: Lemma for ablfac 18487. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac.c	|- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
ablfac.1	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac.2	|- ( ph -> B e. Fin )
ablfac.o	|- O = ( od ` G )
ablfac.a	|- A = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
ablfac.s	|- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
ablfac.w	|- W = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )
ablfaclem2.f	|- ( ph -> F : A -->Word C )
ablfaclem2.q	|- ( ph -> A. y e. A ( F ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) )
ablfaclem2.l	|- L = U_ y e. A ( { y } X. dom ( F ` y ) )
ablfaclem2.g	|- ( ph -> H : ( 0..^ ( # ` L ) ) -1-1-onto-> L )

Assertion

Ref	Expression
ablfaclem2	|- ( ph -> ( W ` B ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   s, p, x, y, A   F, s   g, r, s, y, S   g, p, w, x, B, r, s   O, p, x   C, g, p, s   y, w, C, x   W, p, w, x, y   H, s   ph, p, s, w, x, y   g, G, p, r, s, w, x, y

Allowed substitution hints:   ph( g, r)   A( w, g, r)   B( y)   C( r)   S( x, w, p)   F( x, y, w, g, r, p)   H( x, y, w, g, r, p)   L( x, y, w, g, s, r, p)   O( y, w, g, s, r)   W( g, s, r)

Proof of Theorem ablfaclem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 18198	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3		ablfac.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
4	3	subgid 17596	. . 3 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
5		ablfac.c	. . . 4 |- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
6		ablfac.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. Fin )
7		ablfac.o	. . . 4 |- O = ( od ` G )
8		ablfac.a	. . . 4 |- A = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
9		ablfac.s	. . . 4 |- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
10		ablfac.w	. . . 4 |- W = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 18484	. . 3 |- ( B e. (SubGrp ` G ) -> ( W ` B ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } )
12	1, 2, 4, 11	4syl 19	. 2 |- ( ph -> ( W ` B ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } )
13		ablfaclem2.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : A -->Word C )
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. Word C )
15		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) e. Word C -> ( F ` y ) : ( 0..^ ( # ` ( F ` y ) ) ) --> C )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) : ( 0..^ ( # ` ( F ` y ) ) ) --> C )
17		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) : ( 0..^ ( # ` ( F ` y ) ) ) --> C -> dom ( F ` y ) = ( 0..^ ( # ` ( F ` y ) ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> dom ( F ` y ) = ( 0..^ ( # ` ( F ` y ) ) ) )
19	18	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( F ` y ) : dom ( F ` y ) --> C <-> ( F ` y ) : ( 0..^ ( # ` ( F ` y ) ) ) --> C ) )
20	16, 19	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) : dom ( F ` y ) --> C )
21	20	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ z e. dom ( F ` y ) ) -> ( ( F ` y ) ` z ) e. C )
22	21	anasss 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. dom ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ` y ) ` z ) e. C )
23	22	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. A A. z e. dom ( F ` y ) ( ( F ` y ) ` z ) e. C )
24		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) = ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) )
25	24	fmpt2x 7236	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A A. z e. dom ( F ` y ) ( ( F ` y ) ` z ) e. C <-> ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) : U_ y e. A ( { y } X. dom ( F ` y ) ) --> C )
26	23, 25	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) : U_ y e. A ( { y } X. dom ( F ` y ) ) --> C )
27		ablfaclem2.l	. . . . . . . 8 |- L = U_ y e. A ( { y } X. dom ( F ` y ) )
28	27	feq2i 6037	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) : L --> C <-> ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) : U_ y e. A ( { y } X. dom ( F ` y ) ) --> C )
29	26, 28	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) : L --> C )
30		ablfaclem2.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> H : ( 0..^ ( # ` L ) ) -1-1-onto-> L )
31		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( H : ( 0..^ ( # ` L ) ) -1-1-onto-> L -> H : ( 0..^ ( # ` L ) ) --> L )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> H : ( 0..^ ( # ` L ) ) --> L )
33		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) : L --> C /\ H : ( 0..^ ( # ` L ) ) --> L ) -> ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) : ( 0..^ ( # ` L ) ) --> C )
34	29, 32, 33	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) : ( 0..^ ( # ` L ) ) --> C )
35		iswrdi 13309	. . . . 5 |- ( ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) : ( 0..^ ( # ` L ) ) --> C -> ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) e. Word C )
36	34, 35	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) e. Word C )
37		ablfaclem2.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. y e. A ( F ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) )
38	37	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. ( W ` ( S ` y ) ) )
39		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ Prime
40	8, 39	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A C_ Prime
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A C_ Prime )
42	3, 7, 9, 1, 6, 41	ablfac1b 18469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G dom DProd S )
43		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Base ` G ) e. _V
44	3, 43	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B e. _V
45	44	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. _V
46	45, 9	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom S = A
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom S = A )
48	42, 47	dprdf2 18406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> S : A --> (SubGrp ` G ) )
49	48	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( S ` y ) e. (SubGrp ` G ) )
50	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 18484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S ` y ) e. (SubGrp ` G ) -> ( W ` ( S ` y ) ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` y ) ) } )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( W ` ( S ` y ) ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` y ) ) } )
52	38, 51	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` y ) ) } )
53		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( F ` y ) -> ( G dom DProd s <-> G dom DProd ( F ` y ) ) )
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( F ` y ) -> ( G DProd s ) = ( G DProd ( F ` y ) ) )
55	54	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( F ` y ) -> ( ( G DProd s ) = ( S ` y ) <-> ( G DProd ( F ` y ) ) = ( S ` y ) ) )
56	53, 55	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( F ` y ) -> ( ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` y ) ) <-> ( G dom DProd ( F ` y ) /\ ( G DProd ( F ` y ) ) = ( S ` y ) ) ) )
57	56	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) e. { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` y ) ) } <-> ( ( F ` y ) e. Word C /\ ( G dom DProd ( F ` y ) /\ ( G DProd ( F ` y ) ) = ( S ` y ) ) ) )
58	57	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) e. { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = ( S ` y ) ) } -> ( G dom DProd ( F ` y ) /\ ( G DProd ( F ` y ) ) = ( S ` y ) ) )
59	52, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( G dom DProd ( F ` y ) /\ ( G DProd ( F ` y ) ) = ( S ` y ) ) )
60	59	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> G dom DProd ( F ` y ) )
61		dprdf 18405	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( F ` y ) -> ( F ` y ) : dom ( F ` y ) --> (SubGrp ` G ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) : dom ( F ` y ) --> (SubGrp ` G ) )
63	62	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ z e. dom ( F ` y ) ) -> ( ( F ` y ) ` z ) e. (SubGrp ` G ) )
64	63	anasss 679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. dom ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ` y ) ` z ) e. (SubGrp ` G ) )
65	62	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) = ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) )
66	60, 65	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> G dom DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) )
67	48	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S = ( y e. A |-> ( S ` y ) ) )
68	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( G DProd ( F ` y ) ) = ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) )
69	59	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( G DProd ( F ` y ) ) = ( S ` y ) )
70	68, 69	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) = ( S ` y ) )
71	70	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. A |-> ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) ) = ( y e. A |-> ( S ` y ) ) )
72	67, 71	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S = ( y e. A |-> ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) ) )
73	42, 72	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd ( y e. A |-> ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) ) )
74	64, 66, 73	dprd2d2 18443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G dom DProd ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) /\ ( G DProd ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) = ( G DProd ( y e. A |-> ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) ) ) ) )
75	74	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> G dom DProd ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) )
76		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) : L --> C -> dom ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) = L )
77	29, 76	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) = L )
78	75, 77, 30	dprdf1o 18431	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) /\ ( G DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) ) = ( G DProd ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) ) )
79	78	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) )
80	78	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( G DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) ) = ( G DProd ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) )
81	74	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( G DProd ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) = ( G DProd ( y e. A |-> ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) ) ) )
82	72	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G DProd S ) = ( G DProd ( y e. A |-> ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) ) ) )
83		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- A C_ A
84	83	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ A )
85	3, 7, 9, 1, 6, 41, 8, 84	ablfac1c 18470	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G DProd S ) = B )
86	82, 85	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> ( G DProd ( y e. A |-> ( G DProd ( z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) ) ) ) = B )
87	80, 81, 86	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) ) = B )
88		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( s = ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) -> ( G dom DProd s <-> G dom DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) ) )
89		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( s = ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) -> ( G DProd s ) = ( G DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) ) )
90	89	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( s = ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) -> ( ( G DProd s ) = B <-> ( G DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) ) = B ) )
91	88, 90	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( s = ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) -> ( ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) <-> ( G dom DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) /\ ( G DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) ) = B ) ) )
92	91	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) e. Word C /\ ( G dom DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) /\ ( G DProd ( ( y e. A , z e. dom ( F ` y ) |-> ( ( F ` y ) ` z ) ) o. H ) ) = B ) ) -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )
93	36, 79, 87, 92	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ph -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )
94		rabn0 3958	. . 3 |- ( { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } =/= (/) <-> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )
95	93, 94	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } =/= (/) )
96	12, 95	eqnetrd 2861	1 |- ( ph -> ( W ` B ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   0cc0 9936  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   #chash 13117  Word cword 13291   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944   pGrp cpgp 17946   Abelcabl 18194  CycGrpccyg 18279   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-od 17948  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  ablfaclem3  18486