Theorem ablfac 18487

Description: The Fundamental Theorem of (finite) Abelian Groups. Any finite abelian group is a direct product of cyclic p-groups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac.c	|- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
ablfac.1	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac.2	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ablfac	|- ( ph -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )

Distinct variable groups:   s, r, B   C, s   ph, s   G, r, s

Allowed substitution hints:   ph( r)   C( r)

Proof of Theorem ablfac

Dummy variables p x g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . . 4 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 18198	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3		ablfac.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
4	3	subgid 17596	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
5		ablfac.c	. . . . 5 |- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
6		ablfac.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( od ` G ) = ( od ` G )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( p e. { w e. Prime | w || ( # ` B ) } |-> { x e. B | ( ( od ` G ) ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) = ( p e. { w e. Prime | w || ( # ` B ) } |-> { x e. B | ( ( od ` G ) ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 18484	. . . 4 |- ( B e. (SubGrp ` G ) -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } )
12	1, 2, 4, 11	4syl 19	. . 3 |- ( ph -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } )
13	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem3 18486	. . 3 |- ( ph -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) =/= (/) )
14	12, 13	eqnetrrd 2862	. 2 |- ( ph -> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } =/= (/) )
15		rabn0 3958	. 2 |- ( { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } =/= (/) <-> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )
16	14, 15	sylib 208	1 |- ( ph -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   ^cexp 12860   #chash 13117  Word cword 13291   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944   pGrp cpgp 17946   Abelcabl 18194  CycGrpccyg 18279   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-od 17948  df-gex 17949  df-pgp 17950  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-cyg 18280  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  ablfac2  18488