MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem pgpfac1 18479
Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.s |- S = ( K ` { A } )
pgpfac1.b |- B = ( Base ` G )
pgpfac1.o |- O = ( od ` G )
pgpfac1.e |- E = (gEx ` G )
pgpfac1.z |- .0. = ( 0g ` G )
pgpfac1.l |- .(+) = ( LSSum ` G )
pgpfac1.p |- ( ph -> P pGrp G )
pgpfac1.g |- ( ph -> G e. Abel )
pgpfac1.n |- ( ph -> B e. Fin )
pgpfac1.oe |- ( ph -> ( O ` A ) = E )
pgpfac1.ab |- ( ph -> A e. B )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1 |- ( ph -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = B ) )
Distinct variable groups:   t, .0.   t, A   t, .(+)   t, P   t, B   t, G   t, S   ph, t   t, K
Allowed substitution hints:   E( t)   O( t)
Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables s u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2 ablgrp 18198 . . 3 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3 pgpfac1.b . . . 4 |- B = ( Base ` G )
43subgid 17596 . . 3 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
51, 2, 43syl 18 . 2 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` G ) )
6 pgpfac1.ab . 2 |- ( ph -> A e. B )
7 pgpfac1.n . . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
8 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( s = u -> ( s e. (SubGrp ` G ) <-> u e. (SubGrp ` G ) ) )
9 eleq2 2690 . . . . . . 7 |- ( s = u -> ( A e. s <-> A e. u ) )
108, 9anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( s = u -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) <-> ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) )
11 eqeq2 2633 . . . . . . . 8 |- ( s = u -> ( ( S .(+) t ) = s <-> ( S .(+) t ) = u ) )
1211anbi2d 740 . . . . . . 7 |- ( s = u -> ( ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) <-> ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) )
1312rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( s = u -> ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) <-> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) )
1410, 13imbi12d 334 . . . . 5 |- ( s = u -> ( ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) <-> ( ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) ) )
1514imbi2d 330 . . . 4 |- ( s = u -> ( ( ph -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) <-> ( ph -> ( ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) ) ) )
16 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( s = B -> ( s e. (SubGrp ` G ) <-> B e. (SubGrp ` G ) ) )
17 eleq2 2690 . . . . . . 7 |- ( s = B -> ( A e. s <-> A e. B ) )
1816, 17anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( s = B -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) <-> ( B e. (SubGrp ` G ) /\ A e. B ) ) )
19 eqeq2 2633 . . . . . . . 8 |- ( s = B -> ( ( S .(+) t ) = s <-> ( S .(+) t ) = B ) )
2019anbi2d 740 . . . . . . 7 |- ( s = B -> ( ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) <-> ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = B ) ) )
2120rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( s = B -> ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) <-> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = B ) ) )
2218, 21imbi12d 334 . . . . 5 |- ( s = B -> ( ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) <-> ( ( B e. (SubGrp ` G ) /\ A e. B ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = B ) ) ) )
2322imbi2d 330 . . . 4 |- ( s = B -> ( ( ph -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) <-> ( ph -> ( ( B e. (SubGrp ` G ) /\ A e. B ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = B ) ) ) ) )
24 bi2.04 376 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s C. u -> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( A e. s -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) <-> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( s C. u -> ( A e. s -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
25 impexp 462 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) <-> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( A e. s -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) )
2625imbi2i 326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s C. u -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) <-> ( s C. u -> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( A e. s -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
27 impexp 462 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) <-> ( s C. u -> ( A e. s -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) )
2827imbi2i 326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) <-> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( s C. u -> ( A e. s -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
2924, 26, 283bitr4i 292 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s C. u -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) <-> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) )
3029imbi2i 326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> ( s C. u -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) <-> ( ph -> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
31 bi2.04 376 . . . . . . . . 9 |- ( ( s C. u -> ( ph -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) <-> ( ph -> ( s C. u -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
32 bi2.04 376 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( ph -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) <-> ( ph -> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
3330, 31, 323bitr4i 292 . . . . . . . 8 |- ( ( s C. u -> ( ph -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) <-> ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( ph -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
3433albii 1747 . . . . . . 7 |- ( A. s ( s C. u -> ( ph -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) <-> A. s ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( ph -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
35 df-ral 2917 . . . . . . 7 |- ( A. s e. (SubGrp ` G ) ( ph -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) <-> A. s ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( ph -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) )
36 r19.21v 2960 . . . . . . 7 |- ( A. s e. (SubGrp ` G ) ( ph -> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) <-> ( ph -> A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) )
3734, 35, 363bitr2i 288 . . . . . 6 |- ( A. s ( s C. u -> ( ph -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) <-> ( ph -> A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) )
38 psseq1 3694 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( x C. u <-> s C. u ) )
39 eleq2 2690 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( A e. x <-> A e. s ) )
4038, 39anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> ( ( x C. u /\ A e. x ) <-> ( s C. u /\ A e. s ) ) )
41 ineq2 3808 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = t -> ( S i^i y ) = ( S i^i t ) )
4241eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = t -> ( ( S i^i y ) = { .0. } <-> ( S i^i t ) = { .0. } ) )
43 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = t -> ( S .(+) y ) = ( S .(+) t ) )
4443eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = t -> ( ( S .(+) y ) = x <-> ( S .(+) t ) = x ) )
4542, 44anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> ( ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) <-> ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = x ) ) )
4645cbvrexv 3172 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) <-> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = x ) )
47 eqeq2 2633 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = s -> ( ( S .(+) t ) = x <-> ( S .(+) t ) = s ) )
4847anbi2d 740 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = s -> ( ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = x ) <-> ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) )
4948rexbidv 3052 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = x ) <-> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) )
5046, 49syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> ( E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) <-> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) )
5140, 50imbi12d 334 . . . . . . . . 9 |- ( x = s -> ( ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) <-> ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) )
5251cbvralv 3171 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) <-> A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) )
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10 |- S = ( K ` { A } )
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10 |- O = ( od ` G )
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10 |- E = (gEx ` G )
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` G )
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10 |- .(+) = ( LSSum ` G )
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P pGrp G )
6059adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> P pGrp G )
611adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> G e. Abel )
627adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> B e. Fin )
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( O ` A ) = E )
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> ( O ` A ) = E )
65 simprrl 804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> u e. (SubGrp ` G ) )
66 simprrr 805 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> A e. u )
67 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) )
6867, 52sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) )
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 18478 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) /\ ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) )
7069exp32 631 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. (SubGrp ` G ) ( ( x C. u /\ A e. x ) -> E. y e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i y ) = { .0. } /\ ( S .(+) y ) = x ) ) -> ( ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) ) )
7152, 70syl5bir 233 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) -> ( ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) ) )
7271a2i 14 . . . . . 6 |- ( ( ph -> A. s e. (SubGrp ` G ) ( ( s C. u /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) -> ( ph -> ( ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) ) )
7337, 72sylbi 207 . . . . 5 |- ( A. s ( s C. u -> ( ph -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) ) )
7473a1i 11 . . . 4 |- ( u e. Fin -> ( A. s ( s C. u -> ( ph -> ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = s ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( u e. (SubGrp ` G ) /\ A e. u ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = u ) ) ) ) )
7515, 23, 74findcard3 8203 . . 3 |- ( B e. Fin -> ( ph -> ( ( B e. (SubGrp ` G ) /\ A e. B ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = B ) ) ) )
767, 75mpcom 38 . 2 |- ( ph -> ( ( B e. (SubGrp ` G ) /\ A e. B ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = B ) ) )
775, 6, 76mp2and 715 1 |- ( ph -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C. wpss 3575   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   0gc0g 16100  mrClscmrc 16243   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944  gExcgex 17945   pGrp cpgp 17946   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-od 17948  df-gex 17949  df-pgp 17950  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  18482
  Copyright terms: Public domain W3C validator