Theorem tendoex 36263

Description: Generalization of Lemma K of [Crawley] p. 118, cdlemk 36262. TODO: can this be used to shorten uses of cdlemk 36262? (Contributed by NM, 15-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoex.l	|- .<_ = ( le ` K )
tendoex.h	|- H = ( LHyp ` K )
tendoex.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendoex.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
tendoex.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
tendoex	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )

Distinct variable groups:   u, E   u, F   u, K   u, N   u, R   u, T   u, W

Allowed substitution hints:   H( u)   .<_ ( u)

Proof of Theorem tendoex

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1112	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. HL )
2		hlop 34649	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. OP )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. OP )
4		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5		simpl2r 1115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> N e. T )
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
7		tendoex.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
8		tendoex.t	. . . . . . . 8 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
9		tendoex.r	. . . . . . . 8 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
10	6, 7, 8, 9	trlcl 35451	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ N e. T ) -> ( R ` N ) e. ( Base ` K ) )
11	4, 5, 10	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` N ) e. ( Base ` K ) )
12		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) )
13		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) )
14		tendoex.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
15		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
16		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
17	6, 14, 15, 16	leat 34580	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OP /\ ( R ` N ) e. ( Base ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( ( R ` N ) = ( R ` F ) \/ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
18	3, 11, 12, 13, 17	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( R ` N ) = ( R ` F ) \/ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
19		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) )
20		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( R ` F ) = ( 0. ` K ) -> ( ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) <-> ( R ` N ) .<_ ( 0. ` K ) ) )
21	19, 20	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( ( R ` F ) = ( 0. ` K ) -> ( R ` N ) .<_ ( 0. ` K ) ) )
22	21	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> ( R ` N ) .<_ ( 0. ` K ) )
23		simpl1l 1112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> K e. HL )
24	23, 2	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> K e. OP )
25		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
26		simpl2r 1115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> N e. T )
27	25, 26, 10	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> ( R ` N ) e. ( Base ` K ) )
28	6, 14, 15	ople0 34474	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. OP /\ ( R ` N ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( R ` N ) .<_ ( 0. ` K ) <-> ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
29	24, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> ( ( R ` N ) .<_ ( 0. ` K ) <-> ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
30	22, 29	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> ( R ` N ) = ( 0. ` K ) )
31	30	olcd 408	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) /\ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) -> ( ( R ` N ) = ( R ` F ) \/ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
32		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
33		simp2l 1087	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> F e. T )
34	15, 16, 7, 8, 9	trlator0 35458	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) \/ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( ( R ` F ) e. ( Atoms ` K ) \/ ( R ` F ) = ( 0. ` K ) ) )
36	18, 31, 35	mpjaodan 827	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( ( R ` N ) = ( R ` F ) \/ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
37	36	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( ( R ` N ) = ( R ` F ) \/ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
38		eqcom 2629	. . . . 5 |- ( ( R ` N ) = ( R ` F ) <-> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
39		tendoex.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
40	7, 8, 9, 39	cdlemk 36262	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )
41	40	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )
42	38, 41	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) = ( R ` F ) ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )
43		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) )
44	6, 7, 8, 39, 43	tendo0cl 36078	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) e. E )
45	44	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) -> ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) e. E )
46		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) -> F e. T )
47	43, 6	tendo02 36075	. . . . . . 7 |- ( F e. T -> ( ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ` F ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) -> ( ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ` F ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) )
49	6, 15, 7, 8, 9	trlid0b 35465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ N e. T ) -> ( N = ( _I |` ( Base ` K ) ) <-> ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
50	49	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) -> ( N = ( _I |` ( Base ` K ) ) <-> ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) )
51	50	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) -> N = ( _I |` ( Base ` K ) ) )
52	48, 51	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) -> ( ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ` F ) = N )
53		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( u = ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( u ` F ) = ( ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ` F ) )
54	53	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( u = ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( u ` F ) = N <-> ( ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ` F ) = N ) )
55	54	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) e. E /\ ( ( h e. T |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ` F ) = N ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )
56	45, 52, 55	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )
57	42, 56	jaodan 826	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( ( R ` N ) = ( R ` F ) \/ ( R ` N ) = ( 0. ` K ) ) ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )
58	37, 57	syldan 487	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )
59	58	3impa 1259	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` N ) .<_ ( R ` F ) ) -> E. u e. E ( u ` F ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   0.cp0 17037   OPcops 34459   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445   TEndoctendo 36040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043

This theorem is referenced by:  dva1dim  36273  dihjatcclem4  36710