Theorem dihjatcclem4 36710

Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjatcclem.b	|- B = ( Base ` K )
dihjatcclem.l	|- .<_ = ( le ` K )
dihjatcclem.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihjatcclem.j	|- .\/ = ( join ` K )
dihjatcclem.m	|- ./\ = ( meet ` K )
dihjatcclem.a	|- A = ( Atoms ` K )
dihjatcclem.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihjatcclem.s	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihjatcclem.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihjatcclem.v	|- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
dihjatcclem.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihjatcclem.p	|- ( ph -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
dihjatcclem.q	|- ( ph -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
dihjatcc.w	|- C = ( ( oc ` K ) ` W )
dihjatcc.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihjatcc.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dihjatcc.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihjatcc.g	|- G = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = P )
dihjatcc.dd	|- D = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = Q )
dihjatcc.n	|- N = ( a e. E |-> ( d e. T |-> `' ( a ` d ) ) )
dihjatcc.o	|- .0. = ( d e. T |-> ( _I |` B ) )
dihjatcc.d	|- J = ( a e. E , b e. E |-> ( d e. T |-> ( ( a ` d ) o. ( b ` d ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dihjatcclem4	|- ( ph -> ( I ` V ) C_ ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , d   A, d   B, d   C, d   a, b, E   H, d   P, d   a, d, K, b   Q, d   T, a, b, d   W, a, b, d

Allowed substitution hints:   ph( a, b, d)   A( a, b)   B( a, b)   C( a, b)   D( a, b, d)   P( a, b)   .(+) ( a, b, d)   Q( a, b)   R( a, b, d)   U( a, b, d)   E( d)   G( a, b, d)   H( a, b)   I( a, b, d)   J( a, b, d)   .\/ ( a, b, d)   .<_ ( a, b)   ./\ ( a, b, d)   N( a, b, d)   V( a, b, d)   .0. ( a, b, d)

Proof of Theorem dihjatcclem4

Dummy variables t f s g h u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjatcclem.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		dihjatcclem.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		dihjatcclem.i	. . . 4 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
4	2, 3	dihvalrel 36568	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` V ) )
5	1, 4	syl 17	. 2 |- ( ph -> Rel ( I ` V ) )
6	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		dihjatcclem.l	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ = ( le ` K )
8		dihjatcclem.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( Atoms ` K )
9		dihjatcc.w	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( ( oc ` K ) ` W )
10	7, 8, 2, 9	lhpocnel2 35305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( C e. A /\ -. C .<_ W ) )
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. A /\ -. C .<_ W ) )
12		dihjatcclem.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
13		dihjatcc.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		dihjatcc.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = P )
15	7, 8, 2, 13, 14	ltrniotacl 35867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C e. A /\ -. C .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
16	1, 11, 12, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. T )
17		dihjatcclem.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
18		dihjatcc.dd	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( iota_ d e. T ( d ` C ) = Q )
19	7, 8, 2, 13, 18	ltrniotacl 35867	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( C e. A /\ -. C .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> D e. T )
20	1, 11, 17, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. T )
21	2, 13	ltrncnv 35432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ D e. T ) -> `' D e. T )
22	1, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' D e. T )
23	2, 13	ltrnco 36007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' D e. T ) -> ( G o. `' D ) e. T )
24	1, 16, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G o. `' D ) e. T )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( G o. `' D ) e. T )
26		simprll 802	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> f e. T )
27		simprlr 803	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` f ) .<_ V )
28		dihjatcclem.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
29		dihjatcclem.j	. . . . . . . . . 10 |- .\/ = ( join ` K )
30		dihjatcclem.m	. . . . . . . . . 10 |- ./\ = ( meet ` K )
31		dihjatcclem.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
32		dihjatcclem.s	. . . . . . . . . 10 |- .(+) = ( LSSum ` U )
33		dihjatcclem.v	. . . . . . . . . 10 |- V = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
34		dihjatcc.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
35		dihjatcc.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
36	28, 7, 2, 29, 30, 8, 31, 32, 3, 33, 1, 12, 17, 9, 13, 34, 35, 14, 18	dihjatcclem3 36709	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R ` ( G o. `' D ) ) = V )
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` ( G o. `' D ) ) = V )
38	27, 37	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( R ` ( G o. `' D ) ) )
39	7, 2, 13, 34, 35	tendoex 36263	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G o. `' D ) e. T /\ f e. T ) /\ ( R ` f ) .<_ ( R ` ( G o. `' D ) ) ) -> E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
40	6, 25, 26, 38, 39	syl121anc 1331	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
41		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. t e. E ( t ` ( G o. `' D ) ) = f <-> E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) )
42	40, 41	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) )
43		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` G ) = ( t ` G ) )
44		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> t e. E )
45	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
46	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
47		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t ` G ) e. _V
48		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
49	7, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 14, 47, 48	dihopelvalcqat 36535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) <-> ( ( t ` G ) = ( t ` G ) /\ t e. E ) ) )
50	45, 46, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) <-> ( ( t ` G ) = ( t ` G ) /\ t e. E ) ) )
51	43, 44, 50	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) )
52		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) )
53		dihjatcc.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( a e. E |-> ( d e. T |-> `' ( a ` d ) ) )
54	2, 13, 35, 53	tendoicl 36084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( N ` t ) e. E )
55	45, 44, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( N ` t ) e. E )
56	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
57		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` t ) ` D ) e. _V
58		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` t ) e. _V
59	7, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 18, 57, 58	dihopelvalcqat 36535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) <-> ( ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) /\ ( N ` t ) e. E ) ) )
60	45, 56, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) <-> ( ( ( N ` t ) ` D ) = ( ( N ` t ) ` D ) /\ ( N ` t ) e. E ) ) )
61	52, 55, 60	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) )
62	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> G e. T )
63	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> `' D e. T )
64	2, 13, 35	tendospdi1 36309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ G e. T /\ `' D e. T ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) )
65	45, 44, 62, 63, 64	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) )
66		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` ( G o. `' D ) ) = f )
67	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> D e. T )
68	53, 13	tendoi2 36083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. E /\ D e. T ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = `' ( t ` D ) )
69	44, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( N ` t ) ` D ) = `' ( t ` D ) )
70	2, 13, 35	tendocnv 36310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ D e. T ) -> `' ( t ` D ) = ( t ` `' D ) )
71	45, 44, 67, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> `' ( t ` D ) = ( t ` `' D ) )
72	69, 71	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t ` `' D ) = ( ( N ` t ) ` D ) )
73	72	coeq2d 5284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( ( t ` G ) o. ( t ` `' D ) ) = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
74	65, 66, 73	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
75		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> s = .0. )
76		dihjatcc.d	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( a e. E , b e. E |-> ( d e. T |-> ( ( a ` d ) o. ( b ` d ) ) ) )
77		dihjatcc.o	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( d e. T |-> ( _I |` B ) )
78	2, 13, 35, 53, 28, 76, 77	tendoipl2 36086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E ) -> ( t J ( N ` t ) ) = .0. )
79	45, 44, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> ( t J ( N ` t ) ) = .0. )
80	75, 79	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> s = ( t J ( N ` t ) ) )
81		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( t ` G ) -> <. g , t >. = <. ( t ` G ) , t >. )
82	81	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( t ` G ) -> ( <. g , t >. e. ( I ` P ) <-> <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) ) )
83	82	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) ) )
84		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( t ` G ) -> ( g o. h ) = ( ( t ` G ) o. h ) )
85	84	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( t ` G ) -> ( f = ( g o. h ) <-> f = ( ( t ` G ) o. h ) ) )
86	85	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
87	83, 86	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( t ` G ) -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
88		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> <. h , u >. = <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. )
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( <. h , u >. e. ( I ` Q ) <-> <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) )
90	89	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) ) )
91		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( t ` G ) o. h ) = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) )
92	91	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( f = ( ( t ` G ) o. h ) <-> f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) ) )
93	92	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
94	90, 93	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( ( N ` t ) ` D ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
95		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( N ` t ) -> <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. = <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. )
96	95	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( N ` t ) -> ( <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) <-> <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) )
97	96	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) <-> ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) ) )
98		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( N ` t ) -> ( t J u ) = ( t J ( N ` t ) ) )
99	98	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( N ` t ) -> ( s = ( t J u ) <-> s = ( t J ( N ` t ) ) ) )
100	99	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) <-> ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) )
101	97, 100	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( N ` t ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) ) )
102	87, 94, 101	syl3an9b 1397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = ( t ` G ) /\ h = ( ( N ` t ) ` D ) /\ u = ( N ` t ) ) -> ( ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) ) )
103	102	spc3egv 3297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t ` G ) e. _V /\ ( ( N ` t ) ` D ) e. _V /\ ( N ` t ) e. _V ) -> ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
104	47, 57, 58, 103	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( <. ( t ` G ) , t >. e. ( I ` P ) /\ <. ( ( N ` t ) ` D ) , ( N ` t ) >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( ( t ` G ) o. ( ( N ` t ) ` D ) ) /\ s = ( t J ( N ` t ) ) ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
105	51, 61, 74, 80, 104	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) /\ ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
106	105	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
107	106	eximdv 1846	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. t E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
108		excom 2042	. . . . . 6 |- ( E. t E. g E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
109	107, 108	syl6ib 241	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> ( E. t ( t e. E /\ ( t ` ( G o. `' D ) ) = f ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
110	42, 109	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) )
111	110	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) -> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
112	1	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. HL )
113		hllat 34650	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Lat )
115	12	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. A )
116	17	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. A )
117	28, 29, 8	hlatjcl 34653	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
118	112, 115, 116, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P .\/ Q ) e. B )
119	1	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. H )
120	28, 2	lhpbase 35284	. . . . . . . . 9 |- ( W e. H -> W e. B )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. B )
122	28, 30	latmcl 17052	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
123	114, 118, 121, 122	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
124	33, 123	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. B )
125	28, 7, 30	latmle2 17077	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
126	114, 118, 121, 125	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ W )
127	33, 126	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 |- ( ph -> V .<_ W )
128		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( DIsoB ` K ) ` W ) = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
129	28, 7, 2, 3, 128	dihvalb 36526	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( V e. B /\ V .<_ W ) ) -> ( I ` V ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) )
130	1, 124, 127, 129	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` V ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) )
131	130	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) <-> <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) ) )
132	28, 7, 2, 13, 34, 77, 128	dibopelval3 36437	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( V e. B /\ V .<_ W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
133	1, 124, 127, 132	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
134	131, 133	bitrd 268	. . 3 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) <-> ( ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ V ) /\ s = .0. ) ) )
135		eqid 2622	. . . 4 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
136	28, 8	atbase 34576	. . . . 5 |- ( P e. A -> P e. B )
137	115, 136	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> P e. B )
138	28, 8	atbase 34576	. . . . 5 |- ( Q e. A -> Q e. B )
139	116, 138	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Q e. B )
140	28, 2, 13, 35, 76, 31, 135, 32, 3, 1, 137, 139	dihopellsm 36544	. . 3 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) <-> E. g E. t E. h E. u ( ( <. g , t >. e. ( I ` P ) /\ <. h , u >. e. ( I ` Q ) ) /\ ( f = ( g o. h ) /\ s = ( t J u ) ) ) ) )
141	111, 134, 140	3imtr4d 283	. 2 |- ( ph -> ( <. f , s >. e. ( I ` V ) -> <. f , s >. e. ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) ) )
142	5, 141	relssdv 5212	1 |- ( ph -> ( I ` V ) C_ ( ( I ` P ) .(+) ( I ` Q ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   lecple 15948   occoc 15949   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045   LSSumclsm 18049   LSubSpclss 18932   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445   TEndoctendo 36040   DVecHcdvh 36367   DIsoBcdib 36427   DIsoHcdih 36517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518

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