Theorem tfisg 31716

Description: A closed form of tfis 7054. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tfisg	|- ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) -> A. x e. On ph )

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem tfisg

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . 4 |- { x e. On | ph } C_ On
2		dfss3 3592	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ { x e. On | ph } <-> A. y e. z y e. { x e. On | ph } )
3		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x On
4	3	elrabsf 3474	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { x e. On | ph } <-> ( y e. On /\ [. y / x ]. ph ) )
5	4	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. On | ph } -> [. y / x ]. ph )
6	5	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. z y e. { x e. On | ph } -> A. y e. z [. y / x ]. ph )
7	2, 6	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( z C_ { x e. On | ph } -> A. y e. z [. y / x ]. ph )
8		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x z
9		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. y / x ]. ph
10	8, 9	nfral 2945	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. y e. z [. y / x ]. ph
11		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. z / x ]. ph
12	10, 11	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
13		raleq 3138	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. y e. x [. y / x ]. ph <-> A. y e. z [. y / x ]. ph ) )
14		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
15	13, 14	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) <-> ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph ) ) )
16	12, 15	rspc 3303	. . . . . . . . 9 |- ( z e. On -> ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) -> ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph ) ) )
17	16	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) /\ z e. On ) -> ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph ) )
18	7, 17	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) /\ z e. On ) -> ( z C_ { x e. On | ph } -> [. z / x ]. ph ) )
19		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) /\ z e. On ) -> z e. On )
20	18, 19	jctild 566	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) /\ z e. On ) -> ( z C_ { x e. On | ph } -> ( z e. On /\ [. z / x ]. ph ) ) )
21	3	elrabsf 3474	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. On | ph } <-> ( z e. On /\ [. z / x ]. ph ) )
22	20, 21	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) /\ z e. On ) -> ( z C_ { x e. On | ph } -> z e. { x e. On | ph } ) )
23	22	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) -> A. z e. On ( z C_ { x e. On | ph } -> z e. { x e. On | ph } ) )
24		tfi 7053	. . . 4 |- ( ( { x e. On | ph } C_ On /\ A. z e. On ( z C_ { x e. On | ph } -> z e. { x e. On | ph } ) ) -> { x e. On | ph } = On )
25	1, 23, 24	sylancr 695	. . 3 |- ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) -> { x e. On | ph } = On )
26	25	eqcomd 2628	. 2 |- ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) -> On = { x e. On | ph } )
27		rabid2 3118	. 2 |- ( On = { x e. On | ph } <-> A. x e. On ph )
28	26, 27	sylib 208	1 |- ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) -> A. x e. On ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by:  soseq  31751