Theorem trlcocnvat 36012

Description: Commonly used special case of trlcoat 36011. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoat.a	|- A = ( Atoms ` K )
trlcoat.h	|- H = ( LHyp ` K )
trlcoat.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
trlcoat.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
trlcocnvat	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( R ` ( F o. `' G ) ) e. A )

Proof of Theorem trlcocnvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simp2l 1087	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> F e. T )
3		simp2r 1088	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> G e. T )
4		trlcoat.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
5		trlcoat.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
6	4, 5	ltrncnv 35432	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> `' G e. T )
7	1, 3, 6	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> `' G e. T )
8		simp3 1063	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` G ) )
9		trlcoat.r	. . . . 5 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
10	4, 5, 9	trlcnv 35452	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` `' G ) = ( R ` G ) )
11	1, 3, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( R ` `' G ) = ( R ` G ) )
12	8, 11	neeqtrrd 2868	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` `' G ) )
13		trlcoat.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
14	13, 4, 5, 9	trlcoat 36011	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ `' G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` `' G ) ) -> ( R ` ( F o. `' G ) ) e. A )
15	1, 2, 7, 12, 14	syl121anc 1331	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( R ` ( F o. `' G ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   ` cfv 5888   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  cdlemh1  36103  cdlemk3  36121  cdlemk6  36125  cdlemk7  36136  cdlemk12  36138  cdlemkole  36141  cdlemk14  36142  cdlemk15  36143  cdlemk5u  36149  cdlemk6u  36150  cdlemk7u  36158  cdlemk12u  36160  cdlemkfid1N  36209