Theorem trlcoat 36011

Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoat.a	|- A = ( Atoms ` K )
trlcoat.h	|- H = ( LHyp ` K )
trlcoat.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
trlcoat.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
trlcoat	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( R ` ( F o. G ) ) e. A )

Proof of Theorem trlcoat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcoat.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
2		trlcoat.t	. . . . . . . 8 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3	1, 2	ltrnco 36007	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T )
4	3	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( F o. G ) e. T )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
7		trlcoat.r	. . . . . . 7 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
8	5, 6, 1, 2, 7	trlid0b 35465	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F o. G ) e. T ) -> ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) <-> ( R ` ( F o. G ) ) = ( 0. ` K ) ) )
9	4, 8	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) <-> ( R ` ( F o. G ) ) = ( 0. ` K ) ) )
10		coass 5654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F o. F ) o. G ) = ( `' F o. ( F o. G ) )
11		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> F e. T )
13	5, 1, 2	ltrn1o 35410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
15		f1ococnv1 6165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) )
17	16	coeq1d 5283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( `' F o. F ) o. G ) = ( ( _I |` ( Base ` K ) ) o. G ) )
18		coeq2 5280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) -> ( `' F o. ( F o. G ) ) = ( `' F o. ( _I |` ( Base ` K ) ) ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( `' F o. ( F o. G ) ) = ( `' F o. ( _I |` ( Base ` K ) ) ) )
20	10, 17, 19	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` K ) ) o. G ) = ( `' F o. ( _I |` ( Base ` K ) ) ) )
21		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> G e. T )
22	5, 1, 2	ltrn1o 35410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
23	11, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
24		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
25		fcoi2 6079	. . . . . . . . . 10 |- ( G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) -> ( ( _I |` ( Base ` K ) ) o. G ) = G )
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` K ) ) o. G ) = G )
27	1, 2	ltrncnv 35432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
28	11, 12, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> `' F e. T )
29	5, 1, 2	ltrn1o 35410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ `' F e. T ) -> `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
30	11, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
31		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> `' F : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
32		fcoi1 6078	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) -> ( `' F o. ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = `' F )
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( `' F o. ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = `' F )
34	20, 26, 33	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> G = `' F )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( R ` G ) = ( R ` `' F ) )
36	1, 2, 7	trlcnv 35452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
37	11, 12, 36	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
38	35, 37	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` G ) )
39	38	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` K ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` G ) ) )
40	9, 39	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` ( F o. G ) ) = ( 0. ` K ) -> ( R ` F ) = ( R ` G ) ) )
41	40	necon3d 2815	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` F ) =/= ( R ` G ) -> ( R ` ( F o. G ) ) =/= ( 0. ` K ) ) )
42		trlcoat.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
43	6, 42, 1, 2, 7	trlatn0 35459	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F o. G ) e. T ) -> ( ( R ` ( F o. G ) ) e. A <-> ( R ` ( F o. G ) ) =/= ( 0. ` K ) ) )
44	4, 43	syldan 487	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` ( F o. G ) ) e. A <-> ( R ` ( F o. G ) ) =/= ( 0. ` K ) ) )
45	41, 44	sylibrd 249	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` F ) =/= ( R ` G ) -> ( R ` ( F o. G ) ) e. A ) )
46	45	3impia 1261	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( R ` ( F o. G ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0.cp0 17037   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  trlcocnvat  36012  trlconid  36013  trljco  36028  cdlemh2  36104  cdlemh  36105