Theorem txcn 21429

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcn.1	|- X = U. R
txcn.2	|- Y = U. S
txcn.3	|- Z = ( X X. Y )
txcn.4	|- W = U. U
txcn.5	|- P = ( 1st |` Z )
txcn.6	|- Q = ( 2nd |` Z )

Assertion

Ref	Expression
txcn	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )

Proof of Theorem txcn

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcn.1	. . . . 5 |- X = U. R
2	1	toptopon 20722	. . . 4 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
3		txcn.2	. . . . 5 |- Y = U. S
4	3	toptopon 20722	. . . 4 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` Y ) )
5		txcn.5	. . . . . . 7 |- P = ( 1st |` Z )
6		txcn.3	. . . . . . . 8 |- Z = ( X X. Y )
7	6	reseq2i 5393	. . . . . . 7 |- ( 1st |` Z ) = ( 1st |` ( X X. Y ) )
8	5, 7	eqtri 2644	. . . . . 6 |- P = ( 1st |` ( X X. Y ) )
9		tx1cn 21412	. . . . . 6 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
10	8, 9	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> P e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
11		txcn.6	. . . . . . 7 |- Q = ( 2nd |` Z )
12	6	reseq2i 5393	. . . . . . 7 |- ( 2nd |` Z ) = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
13	11, 12	eqtri 2644	. . . . . 6 |- Q = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
14		tx2cn 21413	. . . . . 6 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
15	13, 14	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
16		cnco 21070	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ P e. ( ( R tX S ) Cn R ) ) -> ( P o. F ) e. ( U Cn R ) )
17		cnco 21070	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) )
18	16, 17	anim12dan 882	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( P e. ( ( R tX S ) Cn R ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) )
19	18	expcom 451	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ( R tX S ) Cn R ) /\ Q e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
20	10, 15, 19	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
21	2, 4, 20	syl2anb 496	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
22	21	3adant3 1081	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )
23		cntop1 21044	. . . . . . . 8 |- ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) -> U e. Top )
24	23	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> U e. Top )
25		txcn.4	. . . . . . . 8 |- W = U. U
26	25	topopn 20711	. . . . . . 7 |- ( U e. Top -> W e. U )
27	24, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> W e. U )
28	25, 1	cnf 21050	. . . . . . 7 |- ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) -> ( P o. F ) : W --> X )
29	28	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( P o. F ) : W --> X )
30	25, 3	cnf 21050	. . . . . . 7 |- ( ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) -> ( Q o. F ) : W --> Y )
31	30	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( Q o. F ) : W --> Y )
32	8, 13	upxp 21426	. . . . . . 7 |- ( ( W e. U /\ ( P o. F ) : W --> X /\ ( Q o. F ) : W --> Y ) -> E! h ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
33		feq3 6028	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = ( X X. Y ) -> ( h : W --> Z <-> h : W --> ( X X. Y ) ) )
34	6, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( h : W --> Z <-> h : W --> ( X X. Y ) )
35	34	3anbi1i 1253	. . . . . . . 8 |- ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
36	35	eubii 2492	. . . . . . 7 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h : W --> ( X X. Y ) /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
37	32, 36	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( W e. U /\ ( P o. F ) : W --> X /\ ( Q o. F ) : W --> Y ) -> E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
38	27, 29, 31, 37	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
39		euex 2494	. . . . 5 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
40	38, 39	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E. h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
41		simpll3 1102	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F : W --> Z )
42	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> W e. U )
43	1	topopn 20711	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Top -> X e. R )
44	3	topopn 20711	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Top -> Y e. S )
45		xpexg 6960	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. R /\ Y e. S ) -> ( X X. Y ) e. _V )
46	6, 45	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. R /\ Y e. S ) -> Z e. _V )
47	43, 44, 46	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> Z e. _V )
48	47	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> Z e. _V )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> Z e. _V )
50		fex2 7121	. . . . . . 7 |- ( ( F : W --> Z /\ W e. U /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
51	41, 42, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F e. _V )
52		eumo 2499	. . . . . . . 8 |- ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
53	38, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
55		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
56		3anass 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
57		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = h -> ( P o. F ) = ( P o. h ) )
58		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = h -> ( Q o. F ) = ( Q o. h ) )
59	57, 58	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( F = h -> ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
60	59	eqcoms 2630	. . . . . . . . . 10 |- ( h = F -> ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
61	60	biantrud 528	. . . . . . . . 9 |- ( h = F -> ( h : W --> Z <-> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) ) )
62		feq1 6026	. . . . . . . . 9 |- ( h = F -> ( h : W --> Z <-> F : W --> Z ) )
63	61, 62	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( h = F -> ( ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) <-> F : W --> Z ) )
64	56, 63	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( h = F -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> F : W --> Z ) )
65	64	moi2 3387	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. _V /\ E* h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) /\ ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ F : W --> Z ) ) -> h = F )
66	51, 54, 55, 41, 65	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h = F )
67		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( R tX S ) = ( R tX S )
68	67, 1, 3, 6, 5, 11	uptx 21428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) )
70		df-reu 2919	. . . . . . . . . 10 |- ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
71		euex 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( E! h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
72	70, 71	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
73		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
74	25, 73	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> h : W --> U. ( R tX S ) )
75	1, 3	txuni 21395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
76	6, 75	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> Z = U. ( R tX S ) )
77	76	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> Z = U. ( R tX S ) )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> Z = U. ( R tX S ) )
79	78	feq3d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( h : W --> Z <-> h : W --> U. ( R tX S ) ) )
80	74, 79	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) -> h : W --> Z ) )
81	80	anim1d 588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) ) )
82	81, 56	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) )
83		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
85	82, 84	jcad 555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
86	85	eximdv 1846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( E. h ( h e. ( U Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
87	72, 86	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( E! h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ( ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) )
88	69, 87	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
89		eupick 2536	. . . . . . 7 |- ( ( E! h ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ E. h ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) /\ h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
90	38, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> ( ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
91	90	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> h e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
92	66, 91	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) /\ ( h : W --> Z /\ ( P o. F ) = ( P o. h ) /\ ( Q o. F ) = ( Q o. h ) ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
93	40, 92	exlimddv 1863	. . 3 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) /\ ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
94	93	ex 450	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) -> F e. ( U Cn ( R tX S ) ) ) )
95	22, 94	impbid 202	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ F : W --> Z ) -> ( F e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( ( P o. F ) e. ( U Cn R ) /\ ( Q o. F ) e. ( U Cn S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365

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