Theorem tz7.49 7540

Description: Proposition 7.49 of [TakeutiZaring] p. 51. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.49.1	|- F Fn On
tz7.49.2	|- ( ph <-> A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tz7.49	|- ( ( A e. B /\ ph ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x, y)

Proof of Theorem tz7.49

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2795	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
2	1	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
3		tz7.49.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph <-> A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
4		ralim 2948	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) -> ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
5	3, 4	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
6	2, 5	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
7		tz7.49.1	. . . . . . . . 9 |- F Fn On
8	7	tz7.48-3 7539	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) -> -. A e. _V )
9		elex 3212	. . . . . . . 8 |- ( A e. B -> A e. _V )
10	8, 9	nsyl3 133	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> -. A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) )
11	6, 10	nsyli 155	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. B -> -. A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) )
12		dfrex2 2996	. . . . . 6 |- ( E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) <-> -. A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
13	11, 12	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) )
14		imaeq2 5462	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( F " x ) = ( F " y ) )
15	14	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A \ ( F " x ) ) = ( A \ ( F " y ) ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) <-> ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
17	16	onminex 7007	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
18	13, 17	syl6 35	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) ) )
19		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) <-> -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) )
20	19	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) <-> A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) )
21	20	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) <-> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
22	21	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) <-> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
23	18, 22	syl6ibr 242	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) ) )
24		nfra1 2941	. . . . 5 |- F/ x A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) )
25	3, 24	nfxfr 1779	. . . 4 |- F/ x ph
26		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) )
27		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn On -> Fun F )
28	7, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun F
29		fvelima 6248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " x ) ) -> E. y e. x ( F ` y ) = z )
30	28, 29	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( F " x ) -> E. y e. x ( F ` y ) = z )
31		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ph
32		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/)
33	31, 32	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) )
34		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( x e. On -> z e. A )
35		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( y e. x -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
36	35	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
37		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
38	15	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = y -> ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
40	39, 15	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) <-> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) )
41	38, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = y -> ( ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) <-> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
42	41	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. On -> ( A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
43	3, 42	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. On -> ( ph -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
44	43	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. On -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
45	37, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
46	36, 45	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
47	46	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
48	47	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) )
49	48	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( x e. On -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
50		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( F ` y ) e. A )
51		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` y ) = z -> ( ( F ` y ) e. A <-> z e. A ) )
52	50, 51	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( ( F ` y ) = z -> z e. A ) )
53	49, 52	syl8 76	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( x e. On -> ( ( F ` y ) = z -> z e. A ) ) ) )
54	53	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( ( F ` y ) = z -> ( x e. On -> z e. A ) ) ) )
55	33, 34, 54	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( E. y e. x ( F ` y ) = z -> ( x e. On -> z e. A ) ) )
56	30, 55	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( z e. ( F " x ) -> ( x e. On -> z e. A ) ) )
57	56	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( x e. On -> ( z e. ( F " x ) -> z e. A ) ) )
58	57	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> ( z e. ( F " x ) -> z e. A ) )
59	58	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> ( F " x ) C_ A )
60		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ ( F " x ) <-> ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
61	60	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> A C_ ( F " x ) )
62	59, 61	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( ( F " x ) C_ A /\ A C_ ( F " x ) ) )
63		eqss 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) = A <-> ( ( F " x ) C_ A /\ A C_ ( F " x ) ) )
64	62, 63	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( F " x ) = A )
65		onss 6990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> x C_ On )
66	32, 31	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph )
67		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y x C_ On
68	66, 67	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On )
69		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ z ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x )
70		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> y e. On ) )
71		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. On -> y C_ On )
72		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F Fn On -> dom F = On )
73	7, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- dom F = On
74	71, 73	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. On -> y C_ dom F )
75		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Fun F /\ y C_ dom F ) -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) )
76	28, 74, 75	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. On -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) )
77	70, 76	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) ) )
78	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) ) )
80	70, 79, 44	syl10 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) ) )
81	80	imp4a 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
82		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> -. ( F ` y ) e. ( F " y ) )
83		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> ( F ` y ) e. ( F " y ) ) )
84	83	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( -. ( F ` y ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
85	82, 84	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
86	81, 85	syl8 76	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
87	86	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
88	77, 87	syldd 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
89	88	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
90	89	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x ) -> ( z e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
91	69, 90	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x ) -> A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) )
92	91	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) -> ( y e. x -> A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
93	68, 92	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) -> A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) )
94	93	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
95	94	ancld 576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> ( x C_ On /\ A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) )
96	7	tz7.48lem 7536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ On /\ A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> Fun `' ( F |` x ) )
97	65, 95, 96	syl56 36	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x e. On -> Fun `' ( F |` x ) ) )
98	97	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( x e. On -> Fun `' ( F |` x ) ) )
99	98	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> Fun `' ( F |` x ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> Fun `' ( F |` x ) )
101	26, 64, 100	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )
102	101	exp41 638	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( x e. On -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
103	102	com23 86	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. On -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
104	103	com34 91	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. On -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
105	104	imp4a 614	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. On -> ( ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) )
106	25, 105	reximdai 3012	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) )
107	23, 106	syld 47	. 2 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) )
108	107	impcom 446	1 |- ( ( A e. B /\ ph ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  tz7.49c  7541