Theorem tz7.7 5749

Description: A transitive class belongs to an ordinal class iff it is strictly included in it. Proposition 7.7 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 5-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
tz7.7	|- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B e. A <-> ( B C_ A /\ B =/= A ) ) )

Proof of Theorem tz7.7

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 5737	. . . 4 |- ( Ord A -> Tr A )
2		ordfr 5738	. . . 4 |- ( Ord A -> _E Fr A )
3		tz7.2 5098	. . . . 5 |- ( ( Tr A /\ _E Fr A /\ B e. A ) -> ( B C_ A /\ B =/= A ) )
4	3	3exp 1264	. . . 4 |- ( Tr A -> ( _E Fr A -> ( B e. A -> ( B C_ A /\ B =/= A ) ) ) )
5	1, 2, 4	sylc 65	. . 3 |- ( Ord A -> ( B e. A -> ( B C_ A /\ B =/= A ) ) )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B e. A -> ( B C_ A /\ B =/= A ) ) )
7		pssdifn0 3944	. . . . . 6 |- ( ( B C_ A /\ B =/= A ) -> ( A \ B ) =/= (/) )
8		difss 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A \ B ) C_ A
9		tz7.5 5744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ ( A \ B ) C_ A /\ ( A \ B ) =/= (/) ) -> E. x e. ( A \ B ) ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) )
10	8, 9	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ ( A \ B ) =/= (/) ) -> E. x e. ( A \ B ) ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) )
11		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( A \ B ) -> x e. A )
12		trss 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr A -> ( x e. A -> x C_ A ) )
13		difin0ss 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) -> ( x C_ A -> x C_ B ) )
14	13	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x C_ A -> ( ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) -> x C_ B ) )
15	11, 12, 14	syl56 36	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Tr A -> ( x e. ( A \ B ) -> ( ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) -> x C_ B ) ) )
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord A -> ( x e. ( A \ B ) -> ( ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) -> x C_ B ) ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) -> ( x e. ( A \ B ) -> ( ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) -> x C_ B ) ) )
18	17	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) /\ ( x e. ( A \ B ) /\ ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) ) ) -> x C_ B )
19		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = x -> ( y e. B <-> x e. B ) )
20	19	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. B -> ( y = x -> x e. B ) )
21		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ( A \ B ) -> -. x e. B )
22	20, 21	nsyli 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. B -> ( x e. ( A \ B ) -> -. y = x ) )
23	22	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. B /\ x e. ( A \ B ) ) -> -. y = x )
24	23	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( B C_ A /\ y e. B ) /\ x e. ( A \ B ) ) -> -. y = x )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ ( ( B C_ A /\ y e. B ) /\ x e. ( A \ B ) ) ) -> -. y = x )
26		trel 4759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( Tr B -> ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) )
27	26	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Tr B -> ( y e. B -> ( x e. y -> x e. B ) ) )
28	27	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Tr B /\ y e. B ) -> ( x e. y -> x e. B ) )
29	28, 21	nsyli 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Tr B /\ y e. B ) -> ( x e. ( A \ B ) -> -. x e. y ) )
30	29	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Tr B -> ( y e. B -> ( x e. ( A \ B ) -> -. x e. y ) ) )
31	30	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tr B -> ( ( B C_ A /\ y e. B ) -> ( x e. ( A \ B ) -> -. x e. y ) ) )
32	31	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Tr B /\ ( ( B C_ A /\ y e. B ) /\ x e. ( A \ B ) ) ) -> -. x e. y )
33	32	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ ( ( B C_ A /\ y e. B ) /\ x e. ( A \ B ) ) ) -> -. x e. y )
34		ordwe 5736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Ord A -> _E We A )
35		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B C_ A /\ y e. B ) -> y e. A )
36	35, 11	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( B C_ A /\ y e. B ) /\ x e. ( A \ B ) ) -> ( y e. A /\ x e. A ) )
37		wecmpep 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( _E We A /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> ( y e. x \/ y = x \/ x e. y ) )
38	34, 36, 37	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Ord A /\ ( ( B C_ A /\ y e. B ) /\ x e. ( A \ B ) ) ) -> ( y e. x \/ y = x \/ x e. y ) )
39	38	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ ( ( B C_ A /\ y e. B ) /\ x e. ( A \ B ) ) ) -> ( y e. x \/ y = x \/ x e. y ) )
40	25, 33, 39	ecase23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ ( ( B C_ A /\ y e. B ) /\ x e. ( A \ B ) ) ) -> y e. x )
41	40	exp44 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B C_ A -> ( y e. B -> ( x e. ( A \ B ) -> y e. x ) ) ) )
42	41	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B C_ A -> ( x e. ( A \ B ) -> ( y e. B -> y e. x ) ) ) )
43	42	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) /\ x e. ( A \ B ) ) -> ( y e. B -> y e. x ) )
44	43	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) /\ x e. ( A \ B ) ) -> B C_ x )
45	44	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) /\ ( x e. ( A \ B ) /\ ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) ) ) -> B C_ x )
46	18, 45	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) /\ ( x e. ( A \ B ) /\ ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) ) ) -> x = B )
47	11	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) /\ ( x e. ( A \ B ) /\ ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) ) ) -> x e. A )
48	46, 47	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) /\ ( x e. ( A \ B ) /\ ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) ) ) -> B e. A )
49	48	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) -> ( E. x e. ( A \ B ) ( ( A \ B ) i^i x ) = (/) -> B e. A ) )
50	10, 49	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ Tr B ) /\ B C_ A ) -> ( ( Ord A /\ ( A \ B ) =/= (/) ) -> B e. A ) )
51	50	exp4b 632	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B C_ A -> ( Ord A -> ( ( A \ B ) =/= (/) -> B e. A ) ) ) )
52	51	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( Ord A -> ( B C_ A -> ( ( A \ B ) =/= (/) -> B e. A ) ) ) )
53	52	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B C_ A -> ( ( A \ B ) =/= (/) -> B e. A ) ) ) )
54	53	pm2.43i 52	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B C_ A -> ( ( A \ B ) =/= (/) -> B e. A ) ) )
55	7, 54	syl7 74	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B C_ A -> ( ( B C_ A /\ B =/= A ) -> B e. A ) ) )
56	55	exp4a 633	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B C_ A -> ( B C_ A -> ( B =/= A -> B e. A ) ) ) )
57	56	pm2.43d 53	. . 3 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B C_ A -> ( B =/= A -> B e. A ) ) )
58	57	impd 447	. 2 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( ( B C_ A /\ B =/= A ) -> B e. A ) )
59	6, 58	impbid 202	1 |- ( ( Ord A /\ Tr B ) -> ( B e. A <-> ( B C_ A /\ B =/= A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   Tr wtr 4752   _E cep 5028   Fr wfr 5070   We wwe 5072   Ord word 5722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726

This theorem is referenced by:  ordelssne  5750  dfon2  31697