Theorem wfrlem17 7431

Description: Without using ax-rep 4771, show that all restrictions of wrecs are sets. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfrlem17.1	|- R We A
wfrlem17.2	|- R Se A
wfrlem17.3	|- F = wrecs ( R , A , G )

Assertion

Ref	Expression
wfrlem17	|- ( X e. dom F -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )

Proof of Theorem wfrlem17

Dummy variables f g x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfrlem17.1	. . . . 5 |- R We A
2		wfrlem17.2	. . . . 5 |- R Se A
3		wfrlem17.3	. . . . 5 |- F = wrecs ( R , A , G )
4	1, 2, 3	wfrfun 7425	. . . 4 |- Fun F
5		funfvop 6329	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ X e. dom F ) -> <. X , ( F ` X ) >. e. F )
6	4, 5	mpan 706	. . 3 |- ( X e. dom F -> <. X , ( F ` X ) >. e. F )
7		df-wrecs 7407	. . . . . 6 |- wrecs ( R , A , G ) = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
8	3, 7	eqtri 2644	. . . . 5 |- F = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
9	8	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( <. X , ( F ` X ) >. e. F <-> <. X , ( F ` X ) >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
10		eluni 4439	. . . 4 |- ( <. X , ( F ` X ) >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
11	9, 10	bitri 264	. . 3 |- ( <. X , ( F ` X ) >. e. F <-> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
12	6, 11	sylib 208	. 2 |- ( X e. dom F -> E. g ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
13		simprr 796	. . . 4 |- ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
15		vex 3203	. . . . 5 |- g e. _V
16	14, 15	wfrlem3a 7417	. . . 4 |- ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) )
17	13, 16	sylib 208	. . 3 |- ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) )
18		3simpa 1058	. . . . 5 |- ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) )
19		simprlr 803	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
20		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } -> g C_ U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
21	20, 8	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . 9 |- ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } -> g C_ F )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g C_ F )
23		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> <. X , ( F ` X ) >. e. g )
24		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X g ( F ` X ) <-> <. X , ( F ` X ) >. e. g )
25	23, 24	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X g ( F ` X ) )
26		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` X ) e. _V
27		breldmg 5330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. dom F /\ ( F ` X ) e. _V /\ X g ( F ` X ) ) -> X e. dom g )
28	26, 27	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. dom F /\ X g ( F ` X ) ) -> X e. dom g )
29	25, 28	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X e. dom g )
30		simprrl 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> g Fn z )
31		fndm 5990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g Fn z -> dom g = z )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> dom g = z )
33	29, 32	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> X e. z )
34		simprrr 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) -> A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z )
36		predeq3 5684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> Pred ( R , A , w ) = Pred ( R , A , X ) )
37	36	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( Pred ( R , A , w ) C_ z <-> Pred ( R , A , X ) C_ z ) )
38	37	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. z /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) -> Pred ( R , A , X ) C_ z )
39	33, 35, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> Pred ( R , A , X ) C_ z )
40	39, 32	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> Pred ( R , A , X ) C_ dom g )
41		fun2ssres 5931	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ g C_ F /\ Pred ( R , A , X ) C_ dom g ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) = ( g |` Pred ( R , A , X ) ) )
42	4, 41	mp3an1 1411	. . . . . . . 8 |- ( ( g C_ F /\ Pred ( R , A , X ) C_ dom g ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) = ( g |` Pred ( R , A , X ) ) )
43	22, 40, 42	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) = ( g |` Pred ( R , A , X ) ) )
44	15	resex 5443	. . . . . . 7 |- ( g |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V
45	43, 44	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( ( X e. dom F /\ ( ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )
46	45	expr 643	. . . . 5 |- ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
47	18, 46	syl5 34	. . . 4 |- ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
48	47	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( E. z ( g Fn z /\ ( z C_ A /\ A. w e. z Pred ( R , A , w ) C_ z ) /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` Pred ( R , A , w ) ) ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V ) )
49	17, 48	mpd 15	. 2 |- ( ( X e. dom F /\ ( <. X , ( F ` X ) >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )
50	12, 49	exlimddv 1863	1 |- ( X e. dom F -> ( F |` Pred ( R , A , X ) ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Se wse 5071   We wwe 5072   dom cdm 5114   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  wrecscwrecs 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-wrecs 7407

This theorem is referenced by: (None)