Theorem wfrfun 7425

Description: The well-founded function generator generates a function. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfrfun.1	|- R We A
wfrfun.2	|- R Se A
wfrfun.3	|- F = wrecs ( R , A , G )

Assertion

Ref	Expression
wfrfun	|- Fun F

Proof of Theorem wfrfun

Dummy variables f g h u v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfrfun.3	. . 3 |- F = wrecs ( R , A , G )
2	1	wfrrel 7420	. 2 |- Rel F
3		df-wrecs 7407	. . . . . . . . . . 11 |- wrecs ( R , A , G ) = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
4	1, 3	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- F = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
5	4	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , u >. e. F <-> <. x , u >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
6		eluni 4439	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , u >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. g ( <. x , u >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
7	5, 6	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( <. x , u >. e. F <-> E. g ( <. x , u >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
8		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( x F u <-> <. x , u >. e. F )
9		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( x g u <-> <. x , u >. e. g )
10	9	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) <-> ( <. x , u >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
11	10	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. g ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) <-> E. g ( <. x , u >. e. g /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
12	7, 8, 11	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( x F u <-> E. g ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
13	4	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , v >. e. F <-> <. x , v >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
14		eluni 4439	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , v >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. h ( <. x , v >. e. h /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
15	13, 14	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( <. x , v >. e. F <-> E. h ( <. x , v >. e. h /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
16		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( x F v <-> <. x , v >. e. F )
17		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( x h v <-> <. x , v >. e. h )
18	17	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) <-> ( <. x , v >. e. h /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
19	18	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. h ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) <-> E. h ( <. x , v >. e. h /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
20	15, 16, 19	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( x F v <-> E. h ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) )
21	12, 20	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( x F u /\ x F v ) <-> ( E. g ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ E. h ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) )
22		eeanv 2182	. . . . . 6 |- ( E. g E. h ( ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) <-> ( E. g ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ E. h ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) )
23	21, 22	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( x F u /\ x F v ) <-> E. g E. h ( ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) )
24		wfrfun.1	. . . . . . . . 9 |- R We A
25		wfrfun.2	. . . . . . . . 9 |- R Se A
26		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
27	24, 25, 26	wfrlem5 7419	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) -> ( ( x g u /\ x h v ) -> u = v ) )
28	27	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( x g u /\ x h v ) /\ ( g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> u = v )
29	28	an4s 869	. . . . . 6 |- ( ( ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> u = v )
30	29	exlimivv 1860	. . . . 5 |- ( E. g E. h ( ( x g u /\ g e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) /\ ( x h v /\ h e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } ) ) -> u = v )
31	23, 30	sylbi 207	. . . 4 |- ( ( x F u /\ x F v ) -> u = v )
32	31	ax-gen 1722	. . 3 |- A. v ( ( x F u /\ x F v ) -> u = v )
33	32	gen2 1723	. 2 |- A. x A. u A. v ( ( x F u /\ x F v ) -> u = v )
34		dffun2 5898	. 2 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. u A. v ( ( x F u /\ x F v ) -> u = v ) ) )
35	2, 33, 34	mpbir2an 955	1 |- Fun F

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Se wse 5071   We wwe 5072   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  wrecscwrecs 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-wrecs 7407

This theorem is referenced by:  wfrlem12  7426  wfrlem13  7427  wfrlem17  7431  wfr1  7433  bpolylem  14779