Theorem xpsfval 16227

Description: The value of the function appearing in xpsval 16232. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> `' ( { x } +c { y } ) )

Assertion

Ref	Expression
xpsfval	|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = `' ( { X } +c { Y } ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, X, y   x, Y, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4187	. . . 4 |- ( x = X -> { x } = { X } )
2		sneq 4187	. . . 4 |- ( y = Y -> { y } = { Y } )
3	1, 2	oveqan12d 6669	. . 3 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( { x } +c { y } ) = ( { X } +c { Y } ) )
4	3	cnveqd 5298	. 2 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> `' ( { x } +c { y } ) = `' ( { X } +c { Y } ) )
5		xpsff1o.f	. 2 |- F = ( x e. A , y e. B |-> `' ( { x } +c { y } ) )
6		ovex 6678	. . 3 |- ( { X } +c { Y } ) e. _V
7	6	cnvex 7113	. 2 |- `' ( { X } +c { Y } ) e. _V
8	4, 5, 7	ovmpt2a 6791	1 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X F Y ) = `' ( { X } +c { Y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   `'ccnv 5113  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   +c ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  xpsff1o  16228  xpsaddlem  16235  xpsvsca  16239  xpsle  16241  xpsdsval  22186