Theorem xpsvsca 16239

Description: Value of the scalar multiplication function in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpssca.t	|- T = ( R X.s S )
xpssca.g	|- G = (Scalar ` R )
xpssca.1	|- ( ph -> R e. V )
xpssca.2	|- ( ph -> S e. W )
xpsvsca.x	|- X = ( Base ` R )
xpsvsca.y	|- Y = ( Base ` S )
xpsvsca.k	|- K = ( Base ` G )
xpsvsca.m	|- .x. = ( .s ` R )
xpsvsca.n	|- .X. = ( .s ` S )
xpsvsca.p	|- .xb = ( .s ` T )
xpsvsca.3	|- ( ph -> A e. K )
xpsvsca.4	|- ( ph -> B e. X )
xpsvsca.5	|- ( ph -> C e. Y )
xpsvsca.6	|- ( ph -> ( A .x. B ) e. X )
xpsvsca.7	|- ( ph -> ( A .X. C ) e. Y )

Assertion

Ref	Expression
xpsvsca	|- ( ph -> ( A .xb <. B , C >. ) = <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. )

Proof of Theorem xpsvsca

Dummy variables k a x y c b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsvsca.3	. . 3 |- ( ph -> A e. K )
2		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( B ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) C ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. B , C >. )
3		xpsvsca.4	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. X )
4		xpsvsca.5	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. Y )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
6	5	xpsfval 16227	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ C e. Y ) -> ( B ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) C ) = `' ( { B } +c { C } ) )
7	3, 4, 6	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( B ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) C ) = `' ( { B } +c { C } ) )
8	2, 7	syl5eqr 2670	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. B , C >. ) = `' ( { B } +c { C } ) )
9		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ C e. Y ) -> <. B , C >. e. ( X X. Y ) )
10	3, 4, 9	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> <. B , C >. e. ( X X. Y ) )
11	5	xpsff1o2 16231	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
12		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) --> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) --> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
14	13	ffvelrni 6358	. . . . 5 |- ( <. B , C >. e. ( X X. Y ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. B , C >. ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
15	10, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. B , C >. ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
16	8, 15	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> `' ( { B } +c { C } ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
17		xpssca.t	. . . . 5 |- T = ( R X.s S )
18		xpsvsca.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` R )
19		xpsvsca.y	. . . . 5 |- Y = ( Base ` S )
20		xpssca.1	. . . . 5 |- ( ph -> R e. V )
21		xpssca.2	. . . . 5 |- ( ph -> S e. W )
22		xpssca.g	. . . . 5 |- G = (Scalar ` R )
23		eqid 2622	. . . . 5 |- ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) = ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) )
24	17, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23	xpsval 16232	. . . 4 |- ( ph -> T = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) "s ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
25	17, 18, 19, 20, 21, 5, 22, 23	xpslem 16233	. . . 4 |- ( ph -> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) = ( Base ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
26		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) )
27	11, 26	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) )
28		f1ofo 6144	. . . . 5 |- ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -onto-> ( X X. Y ) )
29	27, 28	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -onto-> ( X X. Y ) )
30		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ph -> ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) e. _V )
31		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` R ) e. _V
32	22, 31	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- G e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> G e. _V )
34		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( { R } +c { S } ) e. _V
35	34	cnvex 7113	. . . . . . 7 |- `' ( { R } +c { S } ) e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> `' ( { R } +c { S } ) e. _V )
37	23, 33, 36	prdssca 16116	. . . . 5 |- ( T. -> G = (Scalar ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
38	37	trud 1493	. . . 4 |- G = (Scalar ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) )
39		xpsvsca.k	. . . 4 |- K = ( Base ` G )
40		eqid 2622	. . . 4 |- ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) = ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) )
41		xpsvsca.p	. . . 4 |- .xb = ( .s ` T )
42	27	f1ovscpbl 16186	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. K /\ b e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) /\ c e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ) ) -> ( ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` b ) = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` c ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` ( a ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) b ) ) = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` ( a ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) c ) ) ) )
43	24, 25, 29, 30, 38, 39, 40, 41, 42	imasvscaval 16198	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. K /\ `' ( { B } +c { C } ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ) -> ( A .xb ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { B } +c { C } ) ) ) = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` ( A ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { B } +c { C } ) ) ) )
44	1, 16, 43	mpd3an23 1426	. 2 |- ( ph -> ( A .xb ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { B } +c { C } ) ) ) = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` ( A ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { B } +c { C } ) ) ) )
45		f1ocnvfv 6534	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) /\ <. B , C >. e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. B , C >. ) = `' ( { B } +c { C } ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { B } +c { C } ) ) = <. B , C >. ) )
46	11, 10, 45	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. B , C >. ) = `' ( { B } +c { C } ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { B } +c { C } ) ) = <. B , C >. ) )
47	8, 46	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { B } +c { C } ) ) = <. B , C >. )
48	47	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( A .xb ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { B } +c { C } ) ) ) = ( A .xb <. B , C >. ) )
49		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = (/) -> if ( k = (/) , R , S ) = R )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = (/) -> ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) = ( .s ` R ) )
51		xpsvsca.m	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .s ` R )
52	50, 51	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( k = (/) -> ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) = .x. )
53		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( k = (/) -> A = A )
54		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( k = (/) -> if ( k = (/) , B , C ) = B )
55	52, 53, 54	oveq123d 6671	. . . . . . . . 9 |- ( k = (/) -> ( A ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) if ( k = (/) , B , C ) ) = ( A .x. B ) )
56		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( k = (/) -> if ( k = (/) , ( A .x. B ) , ( A .X. C ) ) = ( A .x. B ) )
57	55, 56	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( k = (/) -> ( A ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) if ( k = (/) , B , C ) ) = if ( k = (/) , ( A .x. B ) , ( A .X. C ) ) )
58		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k = (/) -> if ( k = (/) , R , S ) = S )
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k = (/) -> ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) = ( .s ` S ) )
60		xpsvsca.n	. . . . . . . . . . 11 |- .X. = ( .s ` S )
61	59, 60	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k = (/) -> ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) = .X. )
62		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k = (/) -> A = A )
63		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k = (/) -> if ( k = (/) , B , C ) = C )
64	61, 62, 63	oveq123d 6671	. . . . . . . . 9 |- ( -. k = (/) -> ( A ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) if ( k = (/) , B , C ) ) = ( A .X. C ) )
65		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. k = (/) -> if ( k = (/) , ( A .x. B ) , ( A .X. C ) ) = ( A .X. C ) )
66	64, 65	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( -. k = (/) -> ( A ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) if ( k = (/) , B , C ) ) = if ( k = (/) , ( A .x. B ) , ( A .X. C ) ) )
67	57, 66	pm2.61i 176	. . . . . . 7 |- ( A ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) if ( k = (/) , B , C ) ) = if ( k = (/) , ( A .x. B ) , ( A .X. C ) )
68	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> R e. V )
69	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> S e. W )
70		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> k e. 2o )
71		xpscfv 16222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ k e. 2o ) -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) = if ( k = (/) , R , S ) )
72	68, 69, 70, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) = if ( k = (/) , R , S ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> ( .s ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) = ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) )
74		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> A = A )
75	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> B e. X )
76	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> C e. Y )
77		xpscfv 16222	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ C e. Y /\ k e. 2o ) -> ( `' ( { B } +c { C } ) ` k ) = if ( k = (/) , B , C ) )
78	75, 76, 70, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> ( `' ( { B } +c { C } ) ` k ) = if ( k = (/) , B , C ) )
79	73, 74, 78	oveq123d 6671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> ( A ( .s ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { B } +c { C } ) ` k ) ) = ( A ( .s ` if ( k = (/) , R , S ) ) if ( k = (/) , B , C ) ) )
80		xpsvsca.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A .x. B ) e. X )
81	80	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> ( A .x. B ) e. X )
82		xpsvsca.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A .X. C ) e. Y )
83	82	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> ( A .X. C ) e. Y )
84		xpscfv 16222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .x. B ) e. X /\ ( A .X. C ) e. Y /\ k e. 2o ) -> ( `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ` k ) = if ( k = (/) , ( A .x. B ) , ( A .X. C ) ) )
85	81, 83, 70, 84	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> ( `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ` k ) = if ( k = (/) , ( A .x. B ) , ( A .X. C ) ) )
86	67, 79, 85	3eqtr4a 2682	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. 2o ) -> ( A ( .s ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { B } +c { C } ) ` k ) ) = ( `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ` k ) )
87	86	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. 2o |-> ( A ( .s ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { B } +c { C } ) ` k ) ) ) = ( k e. 2o |-> ( `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ` k ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) = ( Base ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) )
89	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. _V )
90		2on 7568	. . . . . . 7 |- 2o e. On
91	90	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2o e. On )
92		xpscfn 16219	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> `' ( { R } +c { S } ) Fn 2o )
93	20, 21, 92	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> `' ( { R } +c { S } ) Fn 2o )
94	16, 25	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ph -> `' ( { B } +c { C } ) e. ( Base ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
95	23, 88, 40, 39, 89, 91, 93, 1, 94	prdsvscaval 16139	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { B } +c { C } ) ) = ( k e. 2o |-> ( A ( .s ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { B } +c { C } ) ` k ) ) ) )
96		xpscfn 16219	. . . . . . 7 |- ( ( ( A .x. B ) e. X /\ ( A .X. C ) e. Y ) -> `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) Fn 2o )
97	80, 82, 96	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) Fn 2o )
98		dffn5 6241	. . . . . 6 |- ( `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) Fn 2o <-> `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) = ( k e. 2o |-> ( `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ` k ) ) )
99	97, 98	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) = ( k e. 2o |-> ( `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ` k ) ) )
100	87, 95, 99	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> ( A ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { B } +c { C } ) ) = `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) )
101	100	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` ( A ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { B } +c { C } ) ) ) = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ) )
102		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( ( A .x. B ) ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ( A .X. C ) ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. )
103	5	xpsfval 16227	. . . . . 6 |- ( ( ( A .x. B ) e. X /\ ( A .X. C ) e. Y ) -> ( ( A .x. B ) ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ( A .X. C ) ) = `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) )
104	80, 82, 103	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A .x. B ) ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ( A .X. C ) ) = `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) )
105	102, 104	syl5eqr 2670	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. ) = `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) )
106		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( ( A .x. B ) e. X /\ ( A .X. C ) e. Y ) -> <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. e. ( X X. Y ) )
107	80, 82, 106	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. e. ( X X. Y ) )
108		f1ocnvfv 6534	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) /\ <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. ) = `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ) = <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. ) )
109	11, 107, 108	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. ) = `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ) = <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. ) )
110	105, 109	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { ( A .x. B ) } +c { ( A .X. C ) } ) ) = <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. )
111	101, 110	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` ( A ( .s ` ( G X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { B } +c { C } ) ) ) = <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. )
112	44, 48, 111	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> ( A .xb <. B , C >. ) = <. ( A .x. B ) , ( A .X. C ) >. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   2oc2o 7554   +c ccda 8989   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   X__scprds 16106   X._s cxps 16166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-imas 16168  df-xps 16170

This theorem is referenced by: (None)