Theorem xpsle 16241

Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsle.t	|- T = ( R X.s S )
xpsle.x	|- X = ( Base ` R )
xpsle.y	|- Y = ( Base ` S )
xpsle.1	|- ( ph -> R e. V )
xpsle.2	|- ( ph -> S e. W )
xpsle.p	|- .<_ = ( le ` T )
xpsle.m	|- M = ( le ` R )
xpsle.n	|- N = ( le ` S )
xpsle.3	|- ( ph -> A e. X )
xpsle.4	|- ( ph -> B e. Y )
xpsle.5	|- ( ph -> C e. X )
xpsle.6	|- ( ph -> D e. Y )

Assertion

Ref	Expression
xpsle	|- ( ph -> ( <. A , B >. .<_ <. C , D >. <-> ( A M C /\ B N D ) ) )

Proof of Theorem xpsle

Dummy variables c d k x y a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( A ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) B ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. A , B >. )
2		xpsle.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
3		xpsle.4	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. Y )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
5	4	xpsfval 16227	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) B ) = `' ( { A } +c { B } ) )
6	2, 3, 5	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) B ) = `' ( { A } +c { B } ) )
7	1, 6	syl5eqr 2670	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. A , B >. ) = `' ( { A } +c { B } ) )
8		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> <. A , B >. e. ( X X. Y ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> <. A , B >. e. ( X X. Y ) )
10	4	xpsff1o2 16231	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
11		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) --> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) --> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
13	12	ffvelrni 6358	. . . . 5 |- ( <. A , B >. e. ( X X. Y ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. A , B >. ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
14	9, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. A , B >. ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
15	7, 14	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> `' ( { A } +c { B } ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
16		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( C ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) D ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. C , D >. )
17		xpsle.5	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. X )
18		xpsle.6	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. Y )
19	4	xpsfval 16227	. . . . . 6 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> ( C ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) D ) = `' ( { C } +c { D } ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( C ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) D ) = `' ( { C } +c { D } ) )
21	16, 20	syl5eqr 2670	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. C , D >. ) = `' ( { C } +c { D } ) )
22		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
23	17, 18, 22	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
24	12	ffvelrni 6358	. . . . 5 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. C , D >. ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. C , D >. ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
26	21, 25	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> `' ( { C } +c { D } ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
27		xpsle.t	. . . . 5 |- T = ( R X.s S )
28		xpsle.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` R )
29		xpsle.y	. . . . 5 |- Y = ( Base ` S )
30		xpsle.1	. . . . 5 |- ( ph -> R e. V )
31		xpsle.2	. . . . 5 |- ( ph -> S e. W )
32		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
33		eqid 2622	. . . . 5 |- ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) )
34	27, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33	xpsval 16232	. . . 4 |- ( ph -> T = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) "s ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
35	27, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33	xpslem 16233	. . . 4 |- ( ph -> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
36		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) )
37	10, 36	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) )
38		f1ofo 6144	. . . . 5 |- ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -1-1-onto-> ( X X. Y ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -onto-> ( X X. Y ) )
39	37, 38	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) -onto-> ( X X. Y ) )
40		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ph -> ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) e. _V )
41		xpsle.p	. . . 4 |- .<_ = ( le ` T )
42		eqid 2622	. . . 4 |- ( le ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) = ( le ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) )
43	37	f1olecpbl 16187	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) /\ b e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ) /\ ( c e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) /\ d e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ) ) -> ( ( ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` a ) = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` c ) /\ ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` b ) = ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` d ) ) -> ( a ( le ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) b <-> c ( le ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) d ) ) )
44	34, 35, 39, 40, 41, 42, 43	imasleval 16201	. . 3 |- ( ( ph /\ `' ( { A } +c { B } ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) /\ `' ( { C } +c { D } ) e. ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ) -> ( ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { A } +c { B } ) ) .<_ ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { C } +c { D } ) ) <-> `' ( { A } +c { B } ) ( le ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { C } +c { D } ) ) )
45	15, 26, 44	mpd3an23 1426	. 2 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { A } +c { B } ) ) .<_ ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { C } +c { D } ) ) <-> `' ( { A } +c { B } ) ( le ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { C } +c { D } ) ) )
46		f1ocnvfv 6534	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) /\ <. A , B >. e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. A , B >. ) = `' ( { A } +c { B } ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { A } +c { B } ) ) = <. A , B >. ) )
47	10, 9, 46	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. A , B >. ) = `' ( { A } +c { B } ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { A } +c { B } ) ) = <. A , B >. ) )
48	7, 47	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { A } +c { B } ) ) = <. A , B >. )
49		f1ocnvfv 6534	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ran ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) /\ <. C , D >. e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. C , D >. ) = `' ( { C } +c { D } ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { C } +c { D } ) ) = <. C , D >. ) )
50	10, 23, 49	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` <. C , D >. ) = `' ( { C } +c { D } ) -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { C } +c { D } ) ) = <. C , D >. ) )
51	21, 50	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { C } +c { D } ) ) = <. C , D >. )
52	48, 51	breq12d 4666	. 2 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { A } +c { B } ) ) .<_ ( `' ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) ` `' ( { C } +c { D } ) ) <-> <. A , B >. .<_ <. C , D >. ) )
53		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) )
54		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ph -> (Scalar ` R ) e. _V )
55		2on 7568	. . . . 5 |- 2o e. On
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2o e. On )
57		xpscfn 16219	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> `' ( { R } +c { S } ) Fn 2o )
58	30, 31, 57	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> `' ( { R } +c { S } ) Fn 2o )
59	15, 35	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> `' ( { A } +c { B } ) e. ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
60	26, 35	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> `' ( { C } +c { D } ) e. ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) )
61	33, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 42	prdsleval 16137	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( { A } +c { B } ) ( le ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { C } +c { D } ) <-> A. k e. 2o ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) ) )
62		df2o3 7573	. . . . . 6 |- 2o = { (/) , 1o }
63	62	raleqi 3142	. . . . 5 |- ( A. k e. 2o ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) <-> A. k e. { (/) , 1o } ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) )
64		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
65		1on 7567	. . . . . . 7 |- 1o e. On
66	65	elexi 3213	. . . . . 6 |- 1o e. _V
67		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = (/) -> ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) = ( `' ( { A } +c { B } ) ` (/) ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = (/) -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) = ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( k = (/) -> ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) = ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) )
70		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = (/) -> ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) = ( `' ( { C } +c { D } ) ` (/) ) )
71	67, 69, 70	breq123d 4667	. . . . . 6 |- ( k = (/) -> ( ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) <-> ( `' ( { A } +c { B } ) ` (/) ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` (/) ) ) )
72		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = 1o -> ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) = ( `' ( { A } +c { B } ) ` 1o ) )
73		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = 1o -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) = ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( k = 1o -> ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) = ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = 1o -> ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) = ( `' ( { C } +c { D } ) ` 1o ) )
76	72, 74, 75	breq123d 4667	. . . . . 6 |- ( k = 1o -> ( ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) <-> ( `' ( { A } +c { B } ) ` 1o ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` 1o ) ) )
77	64, 66, 71, 76	ralpr 4238	. . . . 5 |- ( A. k e. { (/) , 1o } ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) <-> ( ( `' ( { A } +c { B } ) ` (/) ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` (/) ) /\ ( `' ( { A } +c { B } ) ` 1o ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` 1o ) ) )
78	63, 77	bitri 264	. . . 4 |- ( A. k e. 2o ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) <-> ( ( `' ( { A } +c { B } ) ` (/) ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` (/) ) /\ ( `' ( { A } +c { B } ) ` 1o ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` 1o ) ) )
79		xpsc0 16220	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> ( `' ( { A } +c { B } ) ` (/) ) = A )
80	2, 79	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( { A } +c { B } ) ` (/) ) = A )
81		xpsc0 16220	. . . . . . . . 9 |- ( R e. V -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) = R )
82	30, 81	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) = R )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) = ( le ` R ) )
84		xpsle.m	. . . . . . 7 |- M = ( le ` R )
85	83, 84	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ph -> ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) = M )
86		xpsc0 16220	. . . . . . 7 |- ( C e. X -> ( `' ( { C } +c { D } ) ` (/) ) = C )
87	17, 86	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( { C } +c { D } ) ` (/) ) = C )
88	80, 85, 87	breq123d 4667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( `' ( { A } +c { B } ) ` (/) ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` (/) ) <-> A M C ) )
89		xpsc1 16221	. . . . . . 7 |- ( B e. Y -> ( `' ( { A } +c { B } ) ` 1o ) = B )
90	3, 89	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( { A } +c { B } ) ` 1o ) = B )
91		xpsc1 16221	. . . . . . . . 9 |- ( S e. W -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) = S )
92	31, 91	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) = S )
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) = ( le ` S ) )
94		xpsle.n	. . . . . . 7 |- N = ( le ` S )
95	93, 94	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ph -> ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) = N )
96		xpsc1 16221	. . . . . . 7 |- ( D e. Y -> ( `' ( { C } +c { D } ) ` 1o ) = D )
97	18, 96	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' ( { C } +c { D } ) ` 1o ) = D )
98	90, 95, 97	breq123d 4667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( `' ( { A } +c { B } ) ` 1o ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` 1o ) <-> B N D ) )
99	88, 98	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( `' ( { A } +c { B } ) ` (/) ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` (/) ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` (/) ) /\ ( `' ( { A } +c { B } ) ` 1o ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` 1o ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` 1o ) ) <-> ( A M C /\ B N D ) ) )
100	78, 99	syl5bb 272	. . 3 |- ( ph -> ( A. k e. 2o ( `' ( { A } +c { B } ) ` k ) ( le ` ( `' ( { R } +c { S } ) ` k ) ) ( `' ( { C } +c { D } ) ` k ) <-> ( A M C /\ B N D ) ) )
101	61, 100	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( `' ( { A } +c { B } ) ( le ` ( (Scalar ` R ) X_s `' ( { R } +c { S } ) ) ) `' ( { C } +c { D } ) <-> ( A M C /\ B N D ) ) )
102	45, 52, 101	3bitr3d 298	1 |- ( ph -> ( <. A , B >. .<_ <. C , D >. <-> ( A M C /\ B N D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +c ccda 8989   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   lecple 15948   X__scprds 16106   X._s cxps 16166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-imas 16168  df-xps 16170

This theorem is referenced by: (None)