Theorem op2ndd 7179

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndd	|- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = B )

Proof of Theorem op2ndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. 2 |- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = ( 2nd ` <. A , B >. ) )
2		op1st.1	. . 3 |- A e. _V
3		op1st.2	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	op2nd 7177	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B
5	1, 4	syl6eq 2672	1 |- ( C = <. A , B >. -> ( 2nd ` C ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   ` cfv 5888   2ndc2nd 7167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  2nd2val  7195  xp2nd  7199  sbcopeq1a  7220  csbopeq1a  7221  eloprabi  7232  mpt2mptsx  7233  dmmpt2ssx  7235  fmpt2x  7236  ovmptss  7258  fmpt2co  7260  df2nd2  7264  frxp  7287  xporderlem  7288  fnwelem  7292  xpf1o  8122  mapunen  8129  xpwdomg  8490  hsmexlem2  9249  nqereu  9751  uzrdgfni  12757  fsumcom2  14505  fsumcom2OLD  14506  fprodcom2  14714  fprodcom2OLD  14715  qredeu  15372  comfeq  16366  isfuncd  16525  cofucl  16548  funcres2b  16557  funcpropd  16560  xpcco2nd  16825  xpccatid  16828  1stf2  16833  2ndf2  16836  1stfcl  16837  2ndfcl  16838  prf2fval  16841  prfcl  16843  evlf2  16858  evlfcl  16862  curf12  16867  curf1cl  16868  curf2  16869  curfcl  16872  hof2fval  16895  hofcl  16899  txbas  21370  cnmpt2nd  21472  txhmeo  21606  ptuncnv  21610  ptunhmeo  21611  xpstopnlem1  21612  xkohmeo  21618  prdstmdd  21927  ucnimalem  22084  fmucndlem  22095  fsum2cn  22674  ovoliunlem1  23270  fcnvgreu  29472  fsumiunle  29575  gsummpt2co  29780  fimaproj  29900  esumiun  30156  eulerpartlemgs2  30442  hgt750lemb  30734  msubrsub  31423  msubco  31428  msubvrs  31457  filnetlem4  32376  finixpnum  33394  poimirlem4  33413  poimirlem15  33424  poimirlem20  33429  poimirlem26  33435  heicant  33444  heiborlem4  33613  heiborlem6  33615  dicelvalN  36467  rmxypairf1o  37476  unxpwdom3  37665  fgraphxp  37789  elcnvlem  37907  dvnprodlem2  40162  etransclem46  40497  ovnsubaddlem1  40784  uspgrsprf  41754  uspgrsprf1  41755  dmmpt2ssx2  42115  lmod1zr  42282