Theorem op1std 7178

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1std	|- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = A )

Proof of Theorem op1std

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. 2 |- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = ( 1st ` <. A , B >. ) )
2		op1st.1	. . 3 |- A e. _V
3		op1st.2	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	op1st 7176	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A
5	1, 4	syl6eq 2672	1 |- ( C = <. A , B >. -> ( 1st ` C ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   ` cfv 5888   1stc1st 7166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-1st 7168

This theorem is referenced by:  1st2val  7194  xp1st  7198  sbcopeq1a  7220  csbopeq1a  7221  eloprabi  7232  mpt2mptsx  7233  dmmpt2ssx  7235  fmpt2x  7236  ovmptss  7258  fmpt2co  7260  df1st2  7263  fsplit  7282  frxp  7287  xporderlem  7288  fnwelem  7292  xpf1o  8122  mapunen  8129  xpwdomg  8490  hsmexlem2  9249  fsumcom2  14505  fsumcom2OLD  14506  fprodcom2  14714  fprodcom2OLD  14715  qredeu  15372  isfuncd  16525  cofucl  16548  funcres2b  16557  funcpropd  16560  xpcco1st  16824  xpccatid  16828  1stf1  16832  2ndf1  16835  1stfcl  16837  prf1  16840  prfcl  16843  prf1st  16844  prf2nd  16845  evlf1  16860  evlfcl  16862  curf1fval  16864  curf11  16866  curf1cl  16868  curfcl  16872  hof1fval  16893  txbas  21370  cnmpt1st  21471  txhmeo  21606  ptuncnv  21610  ptunhmeo  21611  xpstopnlem1  21612  xkohmeo  21618  prdstmdd  21927  ucnimalem  22084  fmucndlem  22095  fsum2cn  22674  ovoliunlem1  23270  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  fimaproj  29900  eulerpartlemgs2  30442  hgt750lemb  30734  cvmliftlem15  31280  msubty  31424  msubco  31428  msubvrs  31457  filnetlem4  32376  finixpnum  33394  poimirlem4  33413  poimirlem15  33424  poimirlem20  33429  poimirlem26  33435  poimirlem28  33437  heicant  33444  dicelvalN  36467  rmxypairf1o  37476  unxpwdom3  37665  fgraphxp  37789  elcnvlem  37907  dvnprodlem2  40162  etransclem46  40497  ovnsubaddlem1  40784  dmmpt2ssx2  42115