Theorem xrub 12142

Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrub	|- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) <-> A. x e. RR* ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem xrub

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x < B <-> z < B ) )
2		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x < y <-> z < y ) )
3	2	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. A x < y <-> E. y e. A z < y ) )
4	1, 3	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( x < B -> E. y e. A x < y ) <-> ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) )
5	4	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) <-> A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) )
6		elxr 11950	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR* <-> ( x e. RR \/ x = +oo \/ x = -oo ) )
7		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( ( x e. RR -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( x e. RR -> ( ( x e. RR -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) ) )
9		pnfnlt 11962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR* -> -. +oo < B )
10		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = +oo -> ( x < B <-> +oo < B ) )
11	10	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = +oo -> ( -. x < B <-> -. +oo < B ) )
12	9, 11	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = +oo -> ( B e. RR* -> -. x < B ) )
13		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x < B -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) )
14	12, 13	syl6com 37	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> ( x = +oo -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )
15	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( x = +oo -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )
16	15	a1dd 50	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( x = +oo -> ( ( x e. RR -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) ) )
17		elxr 11950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
18		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. RR -> ( B - 1 ) e. RR )
19		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( B - 1 ) -> ( z < B <-> ( B - 1 ) < B ) )
20		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( B - 1 ) -> ( z < y <-> ( B - 1 ) < y ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( B - 1 ) -> ( E. y e. A z < y <-> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) )
22	19, 21	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( B - 1 ) -> ( ( z < B -> E. y e. A z < y ) <-> ( ( B - 1 ) < B -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) ) )
23	22	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B - 1 ) e. RR -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( ( B - 1 ) < B -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) ) )
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. RR -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( ( B - 1 ) < B -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( ( B - 1 ) < B -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) ) )
26		ltm1 10863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. RR -> ( B - 1 ) < B )
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B - 1 ) < B -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) -> ( ( B - 1 ) < B -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) )
28	26, 27	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. RR -> ( ( ( B - 1 ) < B -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) -> ( ( ( B - 1 ) < B -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) -> E. y e. A ( B - 1 ) < y ) )
30	18	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) /\ y e. A ) -> ( B - 1 ) e. RR )
31		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B - 1 ) e. RR -> -oo < ( B - 1 ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) /\ y e. A ) -> -oo < ( B - 1 ) )
33		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B - 1 ) e. RR -> ( B - 1 ) e. RR* )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) /\ y e. A ) -> ( B - 1 ) e. RR* )
35		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
36	35	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
37		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
38		xrlttr 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -oo e. RR* /\ ( B - 1 ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( -oo < ( B - 1 ) /\ ( B - 1 ) < y ) -> -oo < y ) )
39	37, 38	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B - 1 ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( -oo < ( B - 1 ) /\ ( B - 1 ) < y ) -> -oo < y ) )
40	34, 36, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) /\ y e. A ) -> ( ( -oo < ( B - 1 ) /\ ( B - 1 ) < y ) -> -oo < y ) )
41	32, 40	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) /\ y e. A ) -> ( ( B - 1 ) < y -> -oo < y ) )
42	41	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) -> ( E. y e. A ( B - 1 ) < y -> E. y e. A -oo < y ) )
43	25, 29, 42	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> E. y e. A -oo < y ) )
44	43	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( -oo < B -> E. y e. A -oo < y ) ) )
45		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
46		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = 1 -> ( z < B <-> 1 < B ) )
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = 1 -> ( z < y <-> 1 < y ) )
48	47	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = 1 -> ( E. y e. A z < y <-> E. y e. A 1 < y ) )
49	46, 48	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = 1 -> ( ( z < B -> E. y e. A z < y ) <-> ( 1 < B -> E. y e. A 1 < y ) ) )
50	49	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. RR -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( 1 < B -> E. y e. A 1 < y ) ) )
51	45, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( 1 < B -> E. y e. A 1 < y ) )
52		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 e. RR -> 1 < +oo )
53	45, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 < +oo
54		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B = +oo -> ( 1 < B <-> 1 < +oo ) )
55	53, 54	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B = +oo -> 1 < B )
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 < B -> E. y e. A 1 < y ) -> ( 1 < B -> E. y e. A 1 < y ) )
57	55, 56	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B = +oo -> ( ( 1 < B -> E. y e. A 1 < y ) -> E. y e. A 1 < y ) )
58		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. RR -> -oo < 1 )
59	45, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo < 1
60		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
61	45, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR*
62		xrlttr 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -oo e. RR* /\ 1 e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( -oo < 1 /\ 1 < y ) -> -oo < y ) )
63	37, 61, 62	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. RR* -> ( ( -oo < 1 /\ 1 < y ) -> -oo < y ) )
64	59, 63	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR* -> ( 1 < y -> -oo < y ) )
65	35, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> ( 1 < y -> -oo < y ) )
66	65	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A C_ RR* -> ( E. y e. A 1 < y -> E. y e. A -oo < y ) )
67	57, 66	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ B = +oo ) -> ( ( 1 < B -> E. y e. A 1 < y ) -> E. y e. A -oo < y ) )
68	51, 67	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR* /\ B = +oo ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> E. y e. A -oo < y ) )
69	68	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR* /\ B = +oo ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( -oo < B -> E. y e. A -oo < y ) ) )
70		xrltnr 11953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -oo e. RR* -> -. -oo < -oo )
71	37, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. -oo < -oo
72		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B = -oo -> ( -oo < B <-> -oo < -oo ) )
73	71, 72	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B = -oo -> -. -oo < B )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ B = -oo ) -> -. -oo < B )
75	74	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR* /\ B = -oo ) -> ( -oo < B -> E. y e. A -oo < y ) )
76	75	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR* /\ B = -oo ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( -oo < B -> E. y e. A -oo < y ) ) )
77	44, 69, 76	3jaodan 1394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR* /\ ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( -oo < B -> E. y e. A -oo < y ) ) )
78	17, 77	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( -oo < B -> E. y e. A -oo < y ) ) )
79	78	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( -oo < B -> E. y e. A -oo < y ) )
80		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -oo -> ( x < B <-> -oo < B ) )
81		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -oo -> ( x < y <-> -oo < y ) )
82	81	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -oo -> ( E. y e. A x < y <-> E. y e. A -oo < y ) )
83	80, 82	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -oo -> ( ( x < B -> E. y e. A x < y ) <-> ( -oo < B -> E. y e. A -oo < y ) ) )
84	79, 83	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( x = -oo -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )
85	84	a1dd 50	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( x = -oo -> ( ( x e. RR -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) ) )
86	8, 16, 85	3jaod 1392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( ( x e. RR \/ x = +oo \/ x = -oo ) -> ( ( x e. RR -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) ) )
87	6, 86	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( x e. RR* -> ( ( x e. RR -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) ) )
88	87	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( ( x e. RR -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) -> ( x e. RR* -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) ) )
89	88	ralimdv2 2961	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) ) -> ( A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) -> A. x e. RR* ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )
90	89	ex 450	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( A. z e. RR ( z < B -> E. y e. A z < y ) -> ( A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) -> A. x e. RR* ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) ) )
91	5, 90	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) -> ( A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) -> A. x e. RR* ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) ) )
92	91	pm2.43d 53	. 2 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) -> A. x e. RR* ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )
93		rexr 10085	. . . 4 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
94	93	imim1i 63	. . 3 |- ( ( x e. RR* -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) -> ( x e. RR -> ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )
95	94	ralimi2 2949	. 2 |- ( A. x e. RR* ( x < B -> E. y e. A x < y ) -> A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) )
96	92, 95	impbid1 215	1 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( A. x e. RR ( x < B -> E. y e. A x < y ) <-> A. x e. RR* ( x < B -> E. y e. A x < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  supxr  12143