Theorem 5oalem1 28513

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 1-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem1.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem1.4	⊢ 𝑅 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem1	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))

Proof of Theorem 5oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
2		5oalem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 28071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
4	3	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
5		5oalem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
6	5	sheli 28071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ ℋ)
8		hvaddsub12 27895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)))
9	8	3anidm23 1385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)))
10		hvsubid 27883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
11	10	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
12		ax-hvaddid 27861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
13	11, 12	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝑧 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
14	9, 13	eqtr3d 2658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
15	4, 7, 14	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) = 𝑥)
16		5oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
17	5, 16	shsvai 28223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
18	17	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑧 +ℎ (𝑥 −ℎ 𝑧)) ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
19	15, 18	eqeltrrd 2702	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐶 +ℋ 𝑅))
20	1, 19	elind 3798	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))
21		simpllr 799	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
22	5, 16	shscli 28176	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℋ 𝑅) ∈ Sℋ
23	2, 22	shincli 28221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∈ Sℋ
24		5oalem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
25	23, 24	shsvai 28223	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ((𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) +ℋ 𝐵))
26	23, 24	shscomi 28222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))
27	25, 26	syl6eleq 2711	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))
28	20, 21, 27	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))
29		eleq1 2689	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))))
30	29	ad2antlr 763	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → (𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))) ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅)))))
31	28, 30	mpbird 247	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝑅)) → 𝑣 ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∩ cin 3573  (class class class)co 6650   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777  0_ℎc0v 27781   −_ℎ cmv 27782   S_ℋ csh 27785   +_ℋ cph 27788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-shs 28167

This theorem is referenced by:  5oalem6  28518