Theorem brxp 5147

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4654	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5146	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 264	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   × cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120

This theorem is referenced by:  brrelex12  5155  brel  5168  brinxp2  5180  eqbrrdva  5291  ssrelrn  5315  xpidtr  5518  xpco  5675  isocnv3  6582  tpostpos  7372  swoer  7772  erinxp  7821  ecopover  7851  ecopoverOLD  7852  infxpenlem  8836  fpwwe2lem6  9457  fpwwe2lem7  9458  fpwwe2lem9  9460  fpwwe2lem12  9463  fpwwe2lem13  9464  fpwwe2  9465  ltxrlt  10108  ltxr  11949  xpcogend  13713  xpsfrnel2  16225  invfuc  16634  elhoma  16682  efglem  18129  gsumdixp  18609  gsumbagdiag  19376  psrass1lem  19377  opsrtoslem2  19485  znleval  19903  gsumcom3fi  20206  brelg  29421  posrasymb  29657  trleile  29666  metider  29937  mclsppslem  31480  dfpo2  31645  slenlt  31877  dfon3  31999  brbigcup  32005  brsingle  32024  brimage  32033  brcart  32039  brapply  32045  brcup  32046  brcap  32047  funpartlem  32049  dfrdg4  32058  brub  32061  itg2gt0cn  33465  brinxp2ALTV  34034