Theorem cmpcld 21205

Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
cmpcld	⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Comp)

Proof of Theorem cmpcld

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selpw 4165	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐽)
2		simp1l 1085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → 𝐽 ∈ Comp)
3		simp2 1062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → 𝑠 ⊆ 𝐽)
4		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5	4	cldopn 20835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
7	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
8	7	snssd 4340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)} ⊆ 𝐽)
9	3, 8	unssd 3789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ⊆ 𝐽)
10		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠)
11		uniss 4458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝐽)
12	11	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝐽)
13	10, 12	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
14		undif 4049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ↔ (𝑆 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)) = ∪ 𝐽)
15	13, 14	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → (𝑆 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)) = ∪ 𝐽)
16		unss1 3782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → (𝑆 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)) ⊆ (∪ 𝑠 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
17	16	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → (𝑆 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)) ⊆ (∪ 𝑠 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
18	15, 17	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∪ 𝐽 ⊆ (∪ 𝑠 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
19		difss 3737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ⊆ ∪ 𝐽
20		unss 3787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ⊆ ∪ 𝐽) ↔ (∪ 𝑠 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)) ⊆ ∪ 𝐽)
21	12, 19, 20	sylanblc 696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → (∪ 𝑠 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)) ⊆ ∪ 𝐽)
22	18, 21	eqssd 3620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∪ 𝐽 = (∪ 𝑠 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
23		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → ∪ 𝐽 ∈ V)
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ V)
25	24	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∪ 𝐽 ∈ V)
26		difexg 4808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ V → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ V)
27		unisng 4452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ V → ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)} = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)} = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
29	28	uneq2d 3767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → (∪ 𝑠 ∪ ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) = (∪ 𝑠 ∪ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
30	22, 29	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∪ 𝐽 = (∪ 𝑠 ∪ ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))
31		uniun 4456	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) = (∪ 𝑠 ∪ ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})
32	30, 31	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))
33	4	cmpcov 21192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ⊆ 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 = ∪ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑢)
34	2, 9, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑢)
35		elfpw 8268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∩ Fin) ↔ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin))
36		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → 𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))
37		uncom 3757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) = ({(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)} ∪ 𝑠)
38	36, 37	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → 𝑢 ⊆ ({(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)} ∪ 𝑠))
39		ssundif 4052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ⊆ ({(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)} ∪ 𝑠) ↔ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ⊆ 𝑠)
40	38, 39	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ⊆ 𝑠)
41		diffi 8192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ Fin → (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∈ Fin)
42	41	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin)) → (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∈ Fin)
43	42	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∈ Fin)
44		elfpw 8268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ↔ ((𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∈ Fin))
45	40, 43, 44	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
46	10	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠)
47	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝐽)
48		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢)
49	47, 48	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → ∪ 𝑠 ⊆ ∪ 𝑢)
50	46, 49	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑢)
51	50	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ ∪ 𝑢)
52		eluni 4439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑤(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢))
53	51, 52	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ∃𝑤(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢))
54		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑤)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑤))
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝑢)
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ 𝑢))
58		elndif 3734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑣 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
59	58	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ¬ 𝑣 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
60		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑣 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
61	60	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) → (𝑣 ∈ 𝑤 → 𝑣 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) → (𝑣 ∈ 𝑤 → 𝑣 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ 𝑤 → (𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) → 𝑣 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))))
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → (𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) → 𝑣 ∈ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
65	59, 64	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ 𝑣 ∈ 𝑤) → ¬ 𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
66	65	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ 𝑤 → ¬ 𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
67	66	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → ¬ 𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆)))
68		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)} ↔ 𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
69	68	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)} ↔ ¬ 𝑤 = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
70	67, 69	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → ¬ 𝑤 ∈ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))
71	57, 70	jcad 555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → (𝑤 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ∈ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})))
72		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ∈ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))
73	71, 72	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})))
74	55, 73	jcad 555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → (𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))))
75	74	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (∃𝑤(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑢) → ∃𝑤(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))))
76	53, 75	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → ∃𝑤(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})))
77	76	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → (𝑣 ∈ 𝑆 → ∃𝑤(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))))
78		eluni 4439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ∪ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ↔ ∃𝑤(𝑣 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})))
79	77, 78	syl6ibr 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ ∪ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})))
80	79	ssrdv 3609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → 𝑆 ⊆ ∪ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))
81		unieq 4444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) → ∪ 𝑡 = ∪ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}))
82	81	sseq2d 3633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑡 ↔ 𝑆 ⊆ ∪ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})))
83	82	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ⊆ ∪ (𝑢 ∖ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)})) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡)
84	45, 80, 83	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ (𝑢 ⊆ (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡)
85	35, 84	syl3an2b 1363	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) ∧ 𝑢 ∈ (𝒫 (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡)
86	85	rexlimdv3a 3033	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → (∃𝑢 ∈ (𝒫 (𝑠 ∪ {(∪ 𝐽 ∖ 𝑆)}) ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑢 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡))
87	34, 86	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡)
88	87	3exp 1264	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑠 ⊆ 𝐽 → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡)))
89	1, 88	syl5bi 232	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡)))
90	89	ralrimiv 2965	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡))
91		cmptop 21198	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
92	4	cldss 20833	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
93	4	cmpsub 21203	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Comp ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡)))
94	91, 92, 93	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Comp ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 ⊆ ∪ 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑆 ⊆ ∪ 𝑡)))
95	90, 94	mpbird 247	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Comp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  ∪ cuni 4436  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955   ↾_t crest 16081  Topctop 20698  Clsdccld 20820  Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  hausllycmp  21297  cldllycmp  21298  txkgen  21455  cmphaushmeo  21603  cnheiborlem  22753  cmpcmet  23116  stoweidlem28  40245  stoweidlem50  40267  stoweidlem57  40274