Theorem colinearalglem1 25786

Description: Lemma for colinearalg 25790. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))

Proof of Theorem colinearalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1065	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl1 1064	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 10392	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr3 1069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐹 ∈ ℂ)
5		simpr1 1067	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	subdid 10486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)))
7	1, 2, 4	subdird 10487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) = ((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)))
8	1, 2, 5	subdird 10487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷) = ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)))
9	7, 8	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))))
10		simp2 1062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		simp3 1063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ ℂ)
12		mulcl 10020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
14		simp1 1061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		mulcl 10020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
16	14, 11, 15	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
17	13, 16	subcld 10392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
18		simp1 1061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
19		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
20	10, 18, 19	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
21		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
22	14, 18, 21	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	17, 20, 22	subsub3d 10422	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐵 · 𝐷)))
24	17, 22, 20	addsubd 10413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐵 · 𝐷)) = ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)))
25	9, 23, 24	3eqtrrd 2661	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)))
26	13, 16, 20	subsub4d 10423	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))))
27	26	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
28	6, 25, 27	3eqtr2d 2662	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
29		simpr2 1068	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30	29, 5	subcld 10392	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐸 − 𝐷) ∈ ℂ)
31		simpl3 1066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
32	31, 2	subcld 10392	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
33	30, 32	mulcomd 10061	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) · (𝐸 − 𝐷)))
34	32, 29, 5	subdid 10486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · (𝐸 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)))
35	31, 2, 29	subdird 10487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)))
36	31, 2, 5	subdird 10487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷) = ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)))
37	35, 36	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))))
38		simp3 1063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
39		simp2 1062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐸 ∈ ℂ)
40		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐸) ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	syl2an 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐸) ∈ ℂ)
42		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
43	14, 39, 42	syl2an 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 10392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
45		mulcl 10020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
46	38, 18, 45	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
47	44, 46, 22	subsub3d 10422	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐶 · 𝐷)))
48	44, 22, 46	addsubd 10413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐶 · 𝐷)) = ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)))
49	37, 47, 48	3eqtrrd 2661	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)))
50	41, 43, 46	subsub4d 10423	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))))
51	50	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
52	49, 51	eqtr3d 2658	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
53	33, 34, 52	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
54	28, 53	eqeq12d 2637	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷))))
55	16, 20	addcld 10059	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
56	13, 55	subcld 10392	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) ∈ ℂ)
57	43, 46	addcld 10059	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)) ∈ ℂ)
58	41, 57	subcld 10392	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) ∈ ℂ)
59	56, 58, 22	addcan2d 10240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))
60	54, 59	bitrd 268	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  colinearalglem2  25787