Theorem brbtwn2 25785

Description: Alternate characterization of betweenness, with no existential quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
brbtwn2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Proof of Theorem brbtwn2

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brbtwn 25779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))))
2		fveere 25781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
3	2	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
4		fveere 25781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
5	4	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
6	3, 5	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ))
7		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
8	7	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
10	9	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) = (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))
11	10	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))))
12		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	12, 13	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
15	14	simp1bi 1076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
16	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
17	16	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
18		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
19	13, 15, 18	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
21	20	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
22	21	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -(1 − 𝑡) ∈ ℂ)
23	17, 9, 22, 9	mul4d 10248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))))
24		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
26		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
28	17, 25, 27	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
29		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
31	29, 30	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
32	21, 25, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
33		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
34	29, 17, 33	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))
36	25	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
38	32, 35, 37	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐵‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (𝐵‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
40		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
41	20, 40	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
43	15	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
44		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
45	43, 44	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
46	45	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
47	25, 42, 46	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
48	28, 39, 47	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
49	21, 9	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = -((1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))
50	21, 25, 27	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖))))
51		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
52	29, 51	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
53	17, 27, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
54	27	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐶‘𝑖)) = (𝐶‘𝑖))
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
56	53, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) − ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
58	42, 27, 46	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) − ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − (𝐶‘𝑖)))
59	50, 57, 58	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − (𝐶‘𝑖)))
60	59	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = -((((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − (𝐶‘𝑖)))
61	41, 45	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∈ ℂ)
63	62, 27	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − (𝐶‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
64	49, 60, 63	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
65	48, 64	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) · (-(1 − 𝑡) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
66	11, 23, 65	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) = ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
67	17, 21	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · -(1 − 𝑡)) = -(𝑡 · (1 − 𝑡)))
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) = (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
69	43, 20	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
70	69	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
71	8	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
72	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2) ∈ ℂ)
73	70, 72	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
74	68, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) = -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
75	14	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
76	14	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
77		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
78	13, 15, 77	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
79	76, 78	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
80	15, 19, 75, 79	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
81	80	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (𝑡 · (1 − 𝑡)))
82	8	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2))
83	69, 71, 81, 82	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)))
84	69, 71	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
85	84	le0neg2d 10600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ↔ -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ≤ 0))
86	83, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
87	74, 86	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · -(1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))↑2)) ≤ 0)
88	66, 87	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
89	88	3expa 1265	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
90	6, 89	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
91	90	an32s 846	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
92	91	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0)
93		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
94		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
95	93, 94	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ))
96	95	anandirs 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ))
97		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
98		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
99	97, 98	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ))
100	99	anandirs 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ))
101	96, 100	anim12dan 882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)))
102	101	3adantl1 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)))
103		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
104	103	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
105		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
106	105	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
107	106	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
108	104, 107	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))))
109		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
110		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
111		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
112		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
113		mulsub2 10474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
114	109, 110, 111, 112, 113	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
115	108, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))) = ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
117		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
118		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
119	29, 118	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
120	119	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
121	117, 120, 104, 107	mul4d 10248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))) = ((𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))))
122	117, 111, 112	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝑡 · (𝐵‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
123	120, 111, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
124	29, 33	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
125	124	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑡)) = 𝑡)
126	125	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑖)) = (𝑡 · (𝐵‘𝑖)))
127	111	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
128	127	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
129	123, 126, 128	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐵‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
130	129	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (𝐵‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
131	120, 111	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
132	117, 112	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
133	111, 131, 132	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
134	122, 130, 133	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
135	120, 109, 110	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
136		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
137	29, 136	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
138	117, 109, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) = ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
139	109	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶‘𝑗)) = (𝐶‘𝑗))
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
141	138, 140	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
142	141	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
143	135, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
144	117, 109	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
145	120, 110	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
146	109, 144, 145	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑗) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
147	109, 145, 144	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
148	143, 146, 147	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
149	134, 148	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))))
150	121, 149	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑖) − (𝐶‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))))
151		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
152	151	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
153		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
154	153	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
155	154	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
156	117, 120, 152, 155	mul4d 10248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) = ((𝑡 · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
157	117, 110, 109	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
158		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑗)) = ((1 · (𝐵‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
159	29, 158	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 − 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑗)) = ((1 · (𝐵‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
160	120, 110, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑗)) = ((1 · (𝐵‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
161	125	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑡)) · (𝐵‘𝑗)) = (𝑡 · (𝐵‘𝑗)))
162	110	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐵‘𝑗)) = (𝐵‘𝑗))
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑗)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) = ((𝐵‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))))
164	160, 161, 163	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) = (𝑡 · (𝐵‘𝑗)))
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝑡 · (𝐵‘𝑗)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
166	110, 145, 144	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑗) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) = ((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
167	157, 165, 166	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) = ((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
168	120, 112, 111	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
169	117, 112, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
170	112	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶‘𝑖)) = (𝐶‘𝑖))
171	170	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐶‘𝑖)) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
172	169, 171	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = (((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))))
174	112, 132, 131	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = (((𝐶‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
175	112, 131, 132	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑖) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
176	174, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐶‘𝑖) − (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) − ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
177	168, 173, 176	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
178	167, 177	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · ((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗))) · ((1 − 𝑡) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
179	156, 178	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡 · (1 − 𝑡)) · (((𝐵‘𝑗) − (𝐶‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
180	116, 150, 179	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
181	180	3expa 1265	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
182	102, 16, 181	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
183	182	an32s 846	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
184	183	ralrimivva 2971	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
185		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
186		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)))
188		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑖))
189	188	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))
190	187, 189	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
191	185, 190	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
192	191	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
193		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
194		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
195	193, 194	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
196	195	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0))
197	192, 196	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0))
198	197	ralbidva 2985	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0))
199		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑗))
200		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑗))
201	200	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)))
202		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑗))
203	202	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))
204	201, 203	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
205	199, 204	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
206	205	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))
207		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
208	193, 207	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))))
209		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))) → ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))))
210	209, 194	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) → (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))
211	208, 210	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐴‘𝑗) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))))
212	192, 206, 211	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))))
213	212	anandis 873	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))))
214	213	2ralbidva 2988	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))))
215	198, 214	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))))))
216	215	biimprcd 240	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) · ((𝐶‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗))))) = (((𝐵‘𝑗) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑗)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐶‘𝑖) − (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
217	92, 184, 216	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
218	217	rexlimdva 3031	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
219		fveere 25781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
220	219	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
221		mulsuble0b 10895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
222	3, 220, 5, 221	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
223	222	ralbidva 2985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
224	223	anbi1d 741	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
225		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
226		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
227		eqeefv 25783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖)))
228	225, 226, 227	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖)))
229	3	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
230	220	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
231	229, 230	letri3d 10179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖) ↔ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))))
232		pm4.25 537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ∨ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))))
233		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵‘𝑖) = (𝐶‘𝑖))
234	233	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)))
235	234	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖))))
236	233	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ↔ (𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖)))
237	236	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))))
238	235, 237	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ∨ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
239	238	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ∨ ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
240	232, 239	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
241	231, 240	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖) ↔ (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
242	241	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (𝐴‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
243	228, 242	bitrd 268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)))))
244	243	biimprd 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) → 𝐵 = 𝐴))
245	244	adantrd 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴))
246	245	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → 𝐵 = 𝐴)))
247		0elunit 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
248		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
249	248	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
250		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
251	250	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
252		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ)
253	252	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ)
254	249, 251, 253	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ))
255		mulid2 10038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ → (1 · (𝐵‘𝑘)) = (𝐵‘𝑘))
256		mul02 10214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶‘𝑘) ∈ ℂ → (0 · (𝐶‘𝑘)) = 0)
257	255, 256	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑘) + 0))
258		addid1 10216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ → ((𝐵‘𝑘) + 0) = (𝐵‘𝑘))
259	258	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑘) + 0) = (𝐵‘𝑘))
260	257, 259	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))) = (𝐵‘𝑘))
261	260	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))) = (𝐵‘𝑘))
262	261	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))) = (𝐵‘𝑘))
263		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
264	263	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐵‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
265	262, 264	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
266	254, 265	sylan 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → (𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
267	266	an32s 846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
268	267	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
269		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
270		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − 0) = 1
271	269, 270	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
272	271	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) = (1 · (𝐵‘𝑘)))
273		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = (0 · (𝐶‘𝑘)))
274	272, 273	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘))))
275	274	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘)))))
276	275	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 0 → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘)))))
277	276	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = ((1 · (𝐵‘𝑘)) + (0 · (𝐶‘𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))
278	247, 268, 277	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴)) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))
279	278	exp32 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 = 𝐴 → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))))
280	246, 279	syldd 72	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))))
281		eqeefv 25783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝)))
282	281	3adant1 1079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝)))
283	282	necon3abid 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝)))
284		df-ne 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝) ↔ ¬ (𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝))
285	284	rexbii 3041	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝))
286		rexnal 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝))
287	285, 286	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) = (𝐶‘𝑝))
288	283, 287	syl6bbr 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ ∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)))
289		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑝))
290		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑝))
291	289, 290	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ↔ (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝)))
292		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (𝐶‘𝑖) = (𝐶‘𝑝))
293	290, 292	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)))
294	291, 293	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ↔ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))))
295	292, 290	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ↔ (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝)))
296	290, 289	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖) ↔ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
297	295, 296	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖)) ↔ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))))
298	294, 297	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))))
299	298	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))))
300	299	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))))
301		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))
302		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
303		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
304		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
305	302, 303, 304	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
306		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
307		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
308	306, 303, 307	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ)
309		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
310		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
311		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
312	309, 310, 311	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
313	305, 308, 312	lesub1d 10634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝) ↔ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
314	313	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝) ↔ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
315	301, 314	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
316	305, 312	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
317	316	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
318		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝))
319	305, 312	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ↔ (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝)))
320	319	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (0 ≤ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ↔ (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝)))
321	318, 320	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → 0 ≤ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
322	308, 312	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
323	322	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
324		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) → (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)))
325	312, 305, 308, 324	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) → (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)))
326	325	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))
327		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))
328	327	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))
329	312, 308	ltlend 10182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝) ↔ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))))
330	329	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝) ↔ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))))
331	326, 328, 330	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝))
332	312, 308	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝) ↔ 0 < ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
333	332	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) < (𝐶‘𝑝) ↔ 0 < ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
334	331, 333	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → 0 < ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
335		divelunit 12314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∧ (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) → ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
336	317, 321, 323, 334, 335	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≤ ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
337	315, 336	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1))
338	305	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
339	312	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
340	308	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
341		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))
342	341	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))
343	338, 339, 340, 339, 342	div2subd 10851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
344	343	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
345		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝))
346	308, 305, 312	lesub2d 10635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ↔ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
347	346	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ↔ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
348	345, 347	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)))
349	312, 305	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ)
350	349	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ)
351		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))
352	312, 305	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ↔ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
353	352	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (0 ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ↔ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
354	351, 353	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → 0 ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
355	312, 308	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)) ∈ ℝ)
356	355	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)) ∈ ℝ)
357		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐶‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ) → (((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)) → (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
358	308, 305, 312, 357	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)) → (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))
359	358	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))
360		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))
361	308, 312	ltlend 10182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝) ↔ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))))
362	361	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝) ↔ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))))
363	359, 360, 362	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝))
364	308, 312	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
365	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((𝐶‘𝑝) < (𝐵‘𝑝) ↔ 0 < ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
366	363, 365	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → 0 < ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)))
367		divelunit 12314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
368	350, 354, 356, 366, 367	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ≤ ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))))
369	348, 368	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐵‘𝑝) − (𝐶‘𝑝))) ∈ (0[,]1))
370	344, 369	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1))
371	337, 370	jaodan 826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) ∧ (((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝)))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1))
372	371	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((((𝐵‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐶‘𝑝)) ∨ ((𝐶‘𝑝) ≤ (𝐴‘𝑝) ∧ (𝐴‘𝑝) ≤ (𝐵‘𝑝))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1)))
373	300, 372	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1)))
374		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
375		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
376	289, 290	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
377	376	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))))
378	292, 290	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
379	378	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
380	377, 379	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))))
381		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘𝑘))
382		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑘))
383	381, 382	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
384	383	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))))
385		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑘))
386	385, 382	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) = ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)))
387	386	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
388	384, 387	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) ↔ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))))
389	380, 388	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))))
390	374, 375, 389	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))))
391		simp11 1091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
392	391, 375, 248	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
393		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
394	393, 375, 250	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
395		simp13 1093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
396	395, 375, 252	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ)
397	338	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
398	339	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
399	340	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
400		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))
401	400	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))
402		simpl23 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ)
403		simpl21 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ)
404	402, 403	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℂ)
405		simpl12 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
406	404, 405	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) ∈ ℂ)
407		simpl22 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ)
408	403, 407	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℂ)
409		simpl13 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ)
410	408, 409	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) ∈ ℂ)
411	402, 407	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℂ)
412		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝))
413	402, 407, 412	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ≠ 0)
414	406, 410, 411, 413	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
415		npncan2 10308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑝) ∈ ℂ) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) + ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = 0)
416	407, 403, 415	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) + ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = 0)
417	416	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) + ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)) = (0 · (𝐶‘𝑘)))
418	407, 403	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) ∈ ℂ)
419	418, 408, 409	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) + ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
420	409	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (0 · (𝐶‘𝑘)) = 0)
421	417, 419, 420	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) = 0)
422	421	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (0 + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
423	418, 409	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) ∈ ℂ)
424		simpl11 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
425	411, 424	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
426	423, 410, 425	add32d 10263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
427	425	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (0 + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)))
428	422, 426, 427	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
429	404, 424	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
430	418, 424	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
431	423, 429, 430	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
432	402, 407, 403	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) − ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))
433	432	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) − ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · (𝐴‘𝑘)) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)))
434	404, 418, 424	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) − ((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) · (𝐴‘𝑘)) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
435	433, 434	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
436	435	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)))))
437	423, 429, 430	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)))))
438	436, 437	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
439	418, 409, 424	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
440	439	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) − (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
441	431, 438, 440	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
442	441	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
443	428, 442	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
444		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))))
445	444	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
446	445	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) = (((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
447	405, 424	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
448	447, 404	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))))
449	448	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
450	404, 447, 424	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (𝐴‘𝑘))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))))
451	405, 424	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (𝐴‘𝑘)) = (𝐵‘𝑘))
452	451	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) + (𝐴‘𝑘))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)))
453	449, 450, 452	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)))
454	453	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) + (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘))) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
455	443, 446, 454	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))))
456	406, 410	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) ∈ ℂ)
457	456, 411, 424, 413	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (𝐴‘𝑘) ↔ (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐴‘𝑘)) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)))))
458	455, 457	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) + (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (𝐴‘𝑘))
459	404, 405, 411, 413	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐵‘𝑘)))
460	411, 408, 411, 413	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) − ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
461	402, 403, 407	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) − ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))
462	461	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) − ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))))
463	411, 413	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = 1)
464	463	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) = (1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
465	460, 462, 464	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = (1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
466	465	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐵‘𝑘)) = ((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)))
467	459, 466	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)))
468	408, 409, 411, 413	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) = ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))
469	467, 468	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (((((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · (𝐵‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) · (𝐶‘𝑘)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))
470	414, 458, 469	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) ∧ (((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))
471	470	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑝) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑝) ∈ ℂ) ∧ (𝐶‘𝑝) ≠ (𝐵‘𝑝)) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
472	392, 394, 396, 397, 398, 399, 401, 471	syl331anc 1351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝐵‘𝑝) − (𝐴‘𝑝)) · ((𝐶‘𝑘) − (𝐴‘𝑘))) = (((𝐵‘𝑘) − (𝐴‘𝑘)) · ((𝐶‘𝑝) − (𝐴‘𝑝))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
473	390, 472	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
474	473	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))))
475	474	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))))
476	475	ralrimdv 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
477	373, 476	anim12d 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))))
478		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))))
479	478	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) = ((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)))
480		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))
481	479, 480	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘))))
482	481	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → ((𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
483	482	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))))
484	483	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)))) · (𝐵‘𝑘)) + ((((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) / ((𝐶‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))) · (𝐶‘𝑘)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))
485	477, 484	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))))
486	485	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑝 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑝) ≠ (𝐶‘𝑝) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))))
487	288, 486	sylbid 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 ≠ 𝐶 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))))))
488	280, 487	pm2.61dne 2880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐶‘𝑖)) ∨ ((𝐶‘𝑖) ≤ (𝐴‘𝑖) ∧ (𝐴‘𝑖) ≤ (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))))
489	224, 488	sylbid 230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))))
490	218, 489	impbid 202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴‘𝑘) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))
491	1, 490	bitrd 268	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  [,]cicc 12178  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  𝔼cee 25768   Btwn cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-ee 25771  df-btwn 25772

This theorem is referenced by:  colinearalg  25790