Theorem subdird 10487

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 10464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   · cmul 9941   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  subdir2d  10488  mulsubfacd  10492  ltmul1a  10872  xp1d2m1eqxm1d2  11286  div4p1lem1div2  11287  lincmb01cmp  12315  iccf1o  12316  modmul1  12723  remullem  13868  mulcn2  14326  fsumparts  14538  geo2sum  14604  fallfacfwd  14767  bpoly4  14790  modprm0  15510  mul4sqlem  15657  vdwapun  15678  icopnfcnv  22741  itgconst  23585  itgmulc2lem2  23599  dvmulbr  23702  dvrec  23718  dvsincos  23744  cmvth  23754  dvcvx  23783  dvfsumlem1  23789  dvfsumlem2  23790  coeeulem  23980  abelthlem6  24190  tangtx  24257  tanarg  24365  logdivlti  24366  logcnlem4  24391  affineequiv  24553  affineequiv2  24554  chordthmlem2  24560  chordthmlem4  24562  mcubic  24574  dquartlem2  24579  quart1lem  24582  quart1  24583  quartlem1  24584  dvatan  24662  atantayl  24664  lgamcvg2  24781  wilthlem2  24795  logfaclbnd  24947  logexprlim  24950  perfectlem2  24955  dchrsum2  24993  sumdchr2  24995  bposlem9  25017  lgsquadlem1  25105  chebbnd1lem3  25160  rpvmasumlem  25176  log2sumbnd  25233  chpdifbndlem1  25242  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  selbergr  25257  selberg3r  25258  selberg4r  25259  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem5  25270  pntibndlem2  25280  pntlemo  25296  ttgcontlem1  25765  brbtwn2  25785  colinearalglem1  25786  axsegconlem9  25805  axcontlem2  25845  axcontlem7  25850  axcontlem8  25851  2sqmod  29648  sinccvglem  31566  bj-bary1lem  33160  bj-bary1lem1  33161  itgmulc2nclem2  33477  bfp  33623  pellexlem6  37398  congmul  37534  areaquad  37802  itgsinexp  40170  stoweidlem13  40230  stoweidlem14  40231  stoweidlem26  40243  fourierdlem6  40330  fourierdlem26  40350  fourierdlem42  40366  fourierdlem65  40388  fourierdlem95  40418  smfmullem1  40998  sigarmf  41043  cevathlem2  41057  pwdif  41501  perfectALTVlem2  41631  joinlmulsubmuld  42520