Theorem subsub4d 10423

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 10314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  sub1m1  11284  cnm2m1cnm3  11285  nn0n0n1ge2  11358  ubmelm1fzo  12564  hashf1  13241  ccatass  13371  isercolllem1  14395  caucvgrlem  14403  fsumparts  14538  incexclem  14568  arisum2  14593  bpolydiflem  14785  bpoly4  14790  sin01bnd  14915  cos01bnd  14916  vdwlem5  15689  vdwlem8  15692  efgredleme  18156  opnreen  22634  pjthlem1  23208  dveflem  23742  dvcvx  23783  dvfsumlem1  23789  efif1olem2  24289  tanarg  24365  dcubic1  24572  dquartlem1  24578  tanatan  24646  atans2  24658  harmonicbnd4  24737  basellem5  24811  logfaclbnd  24947  bcmono  25002  lgsquadlem1  25105  mulogsumlem  25220  mulog2sumlem1  25223  vmalogdivsum  25228  selbergr  25257  selberg3r  25258  brbtwn2  25785  colinearalglem1  25786  colinearalglem2  25787  colinearalglem4  25789  ax5seglem1  25808  clwlkclwwlklem2a4  26898  clwlkclwwlklem2a  26899  clwwlksext2edg  26923  numclwwlkovf2exlem1  27211  numclwwlkovf2exlem2  27212  pjhthlem1  28250  lt2addrd  29516  ballotlemfp1  30553  signstfveq0  30654  bcprod  31624  dnibndlem10  32477  suplesup  39555  fperdvper  40133  dvnxpaek  40157  itgsinexp  40170  stoweidlem26  40243  stoweidlem34  40251  stirlinglem5  40295  fourierdlem26  40350  fourierdlem107  40430  vonioolem1  40894  pwdif  41501  dignn0flhalflem1  42409