Theorem dffi2 8329

Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains 𝐴 and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dffi2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐴) = ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑉,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dffi2

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		vex 3203	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑡 ∈ V
3		elfi 8319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥))
4	2, 3	mpan 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥))
5	4	biimpd 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥))
6		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥))
7		fiint 8237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧))
8		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
9	8	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
10	9	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝐴 ⊆ 𝑧)
13	11, 12	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑧)
14		eqvisset 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 = ∩ 𝑥 → ∩ 𝑥 ∈ V)
15		intex 4820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑥 ∈ V)
16	14, 15	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 = ∩ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
17	16	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
18		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
19	18	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
20	19	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
21	13, 17, 20	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin))
22	21	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin)))
23		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧))
24	22, 23	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧)))
25		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = ∩ 𝑥 → (𝑡 ∈ 𝑧 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝑧))
26	25	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = ∩ 𝑥 → (∩ 𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑡 ∈ 𝑧))
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (∩ 𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑡 ∈ 𝑧))
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (∩ 𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑡 ∈ 𝑧)))
29	24, 28	syldd 72	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑡 ∈ 𝑧)))
30	29	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → (((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧)))
31	30	alimdv 1845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧)))
32	7, 31	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧)))
33	32	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧))
34		19.23v 1902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧))
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧))
36	6, 35	syl5bi 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥 → 𝑡 ∈ 𝑧))
37	5, 36	sylan9 689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑡 ∈ 𝑧))
38	37	ssrdv 3609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧)
39	38	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
40	39	alrimiv 1855	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑧((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
41		ssintab 4494	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐴) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
42	40, 41	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})
43		ssfii 8325	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
44		fiin 8328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
45	44	rgen2a 2977	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
47		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ V
48		sseq2 3627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴)))
49		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
50	49	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
51	50	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
52	48, 51	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴))))
53	47, 52	elab 3350	. . . . 5 ⊢ ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
54	43, 46, 53	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})
55		intss1 4492	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} → ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
56	54, 55	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
57	42, 56	eqssd 3620	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})
58	1, 57	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐴) = ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∩ cint 4475  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  fiss  8330  inficl  8331  dffi3  8337  fbssfi  21641