Theorem dffi2 8329

Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains A and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dffi2	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   y, V, z

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem dffi2

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- t e. _V
3		elfi 8319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. _V /\ A e. _V ) -> ( t e. ( fi ` A ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
4	2, 3	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( t e. ( fi ` A ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
5	4	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( t e. ( fi ` A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x ) )
6		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x <-> E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) )
7		fiint 8237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) )
8		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
9	8	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
10	9	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
11	10	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x C_ A )
12		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> A C_ z )
13	11, 12	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x C_ z )
14		eqvisset 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = |^| x -> |^| x e. _V )
15		intex 4820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x =/= (/) <-> |^| x e. _V )
16	14, 15	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = |^| x -> x =/= (/) )
17	16	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x =/= (/) )
18		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
19	18	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
20	19	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> x e. Fin )
21	13, 17, 20	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ z /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) )
22	21	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) ) )
23		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> |^| x e. z ) )
24	22, 23	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> |^| x e. z ) ) )
25		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = |^| x -> ( t e. z <-> |^| x e. z ) )
26	25	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = |^| x -> ( |^| x e. z -> t e. z ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( |^| x e. z -> t e. z ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( |^| x e. z -> t e. z ) ) )
29	24, 28	syldd 72	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ z -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> t e. z ) ) )
30	29	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ z -> ( ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
31	30	alimdv 1845	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ z -> ( A. x ( ( x C_ z /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. z ) -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
32	7, 31	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ z -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) ) )
33	32	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
34		19.23v 1902	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) <-> ( E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( E. x ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ t = |^| x ) -> t e. z ) )
36	6, 35	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) t = |^| x -> t e. z ) )
37	5, 36	sylan9 689	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) -> ( t e. ( fi ` A ) -> t e. z ) )
38	37	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) -> ( fi ` A ) C_ z )
39	38	ex 450	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
40	39	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( A e. _V -> A. z ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
41		ssintab 4494	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) C_ |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. z ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) -> ( fi ` A ) C_ z ) )
42	40, 41	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) C_ |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
43		ssfii 8325	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A C_ ( fi ` A ) )
44		fiin 8328	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
45	44	rgen2a 2977	. . . . . 6 |- A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
46	45	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. _V -> A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
47		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( fi ` A ) e. _V
48		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A C_ z <-> A C_ ( fi ` A ) ) )
49		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
50	49	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
51	50	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
52	48, 51	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( z = ( fi ` A ) -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> ( A C_ ( fi ` A ) /\ A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) ) )
53	47, 52	elab 3350	. . . . 5 |- ( ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> ( A C_ ( fi ` A ) /\ A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) ) )
54	43, 46, 53	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
55		intss1 4492	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ ( fi ` A ) )
56	54, 55	syl 17	. . 3 |- ( A e. _V -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ ( fi ` A ) )
57	42, 56	eqssd 3620	. 2 |- ( A e. _V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
58	1, 57	syl 17	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Fincfn 7955   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  fiss  8330  inficl  8331  dffi3  8337  fbssfi  21641