Theorem dmmptd 6024

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptd.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptd.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
2		elex 3212	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
4	3	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
5		rabid2 3118	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
7		dmmptd.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
8	7	dmmpt 5630	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
9	6, 8	syl6reqr 2675	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  8576  lo1eq  14299  rlimeq  14300  rlimcld2  14309  rlimcn2  14321  rlimmptrcl  14338  rlimsqzlem  14379  dprdz  18429  alexsublem  21848  cmetcaulem  23086  minveclem3b  23199  mbfneg  23417  mbfsup  23431  mbfinf  23432  mbflimsup  23433  itg2monolem1  23517  itg2mono  23520  itg2i1fseq2  23523  itg2cnlem1  23528  isibl2  23533  iblcnlem  23555  limccnp2  23656  limcco  23657  dvmptres3  23719  itgsubstlem  23811  iblulm  24161  rlimcnp2  24693  dchrisumlema  25177  htthlem  27774  expgrowth  38534  mptelpm  39357  choicefi  39392  mullimc  39848  limcmptdm  39867  dvsinax  40127  dirkercncflem2  40321  fourierdlem62  40385  psmeasure  40688  ovnovollem2  40871  smflimsuplem2  41027