Theorem cantnfp1lem2 8576

Description: Lemma for cantnfp1 8578. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
cantnfp1.e	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o	⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem2	⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		cantnfp1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
3		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = 𝑌)
4		cantnfp1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
5	3, 4	fvmptg 6280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
7		cantnfp1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
8		cantnfs.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9		onelon 5748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ On)
10	8, 2, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ On)
11		on0eln0 5780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ On → (∅ ∈ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ ∅))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ ∅))
13	7, 12	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
14	6, 13	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)
15	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
16		cantnfp1.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
17		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
18		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
19	17, 8, 18	cantnfs 8563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
20	16, 19	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
23	15, 22	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
24	23, 4	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
25		ffn 6045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐴 → 𝐹 Fn 𝐵)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
27		0ex 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
29		elsuppfn 7303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
30	26, 18, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
31	1, 14, 30	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
32		n0i 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
34		suppssdm 7308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
35	4, 23	dmmptd 6024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
36	34, 35	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
37	18, 36	ssexd 4805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
38		cantnfp1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
39		cantnfp1.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
40	17, 8, 18, 16, 1, 2, 39, 4	cantnfp1lem1 8575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
41	17, 8, 18, 38, 40	cantnfcl 8564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
42	41	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
43	38	oien 8443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
44	37, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
45		breq1 4656	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
46		ensymb 8004	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
47		en0 8019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
48	46, 47	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
49	45, 48	syl6bb 276	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
50	44, 49	syl5ibcom 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
51	33, 50	mtod 189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
52	41	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
53		nnlim 7078	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
54	52, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
55		ioran 511	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
56	51, 54, 55	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
57		nnord 7073	. . . 4 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
58		unizlim 5844	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
59	52, 57, 58	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
60	56, 59	mtbird 315	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂)
61		orduniorsuc 7030	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
62	52, 57, 61	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
63	62	ord 392	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
64	60, 63	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   E cep 5028   We wwe 5072  dom cdm 5114  Ord word 5722  Oncon0 5723  Lim wlim 5724  suc csuc 5725   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   supp csupp 7295   ≈ cen 7952   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8577